每日一题[32] 妙用外心解向量题

已知\(O\)是锐角三角形\(ABC\)外接圆的圆心，若\[\frac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow{AB}+\frac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO},\]则\(m=\)________．

等式两边同时对\(\overrightarrow{AO}\)做数量积，有\[\frac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AO}+\frac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AO}=2m\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AO},\]利用数量积的几何意义，有\[\frac{\cos B}{\sin C}\cdot\frac 12c^2+\frac{\cos C}{\sin B}\cdot\frac 12b^2=2m\cdot R^2,\]其中\(a,b,c,R\)分别表示三角形的三边以及外接圆半径．

接下来对式子进行变形\[\frac{\cos B}{\sin C}\cdot\left(\frac c{2R}\right)^2+\frac{\cos C}{\sin B}\cdot\left(\frac b{2R}\right)^2=m,\]

应用正弦定理，并化简，就得到\[m=\cos B\cdot\sin C+\cos C\cdot\sin B=\sin (B+C)=\sin A.\]

点评    利用数量积处理三角形的外心相关的平面向量问题．

下面给出一道题目作为练习．

已知\(O\)是三角形\(ABC\)的外心，\(AB=2\)，\(AC=1\)，\(\angle BAC=120^\circ\)．若\[\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC},\]则\(m-n=\)________．

答案    \(-\dfrac 12\)．