每日一题[31] 三角形的高与面积

代数式的最值问题一般通过合理的选择参数，将代数式最值问题转换为多变元条件不等式问题或者单变元函数的最值问题．在选择参数时，有效地连接各个已知条件是我们必修的基本功．

已知三角形$ABC$中，$AB$边上的高与$AB$边的长相等，则

$$\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}$$ 的最大值是________．

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记三角形$ABC$中，$A,B,C$所对的边长分别为$a,b,c$，则

$$\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab}.$$

这个式子从样式上来说和余弦定理十分接近，考虑余弦定理

$$a^2+b^2-c^2=2ab\cdot\cos C\qquad\cdots (1)$$

接下来的关键就是如何建立$c^2$与$ab$之间的关联，面积无疑是不二之选

$$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12c^2=\dfrac 12ab\cdot\sin C,$$

于是有

$$c^2=ab\cdot\sin C\qquad\cdots (2)$$

由(1)(2)两式可得

$$a^2+b^2+c^2=ab\left(2\cos C+2\sin C\right),$$ 进而容易得到所求的最大值为$2\sqrt 2$，等号当且仅当$C=\dfrac{\pi}4$时取得．

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 点评    解三角形的问题中遇到高线一定要想到利用三角形面积进行转化！