每日一题[266] 定积分的几何意义

2014年高考湖南理科第9题：

已知函数$f(x)=\sin(x-\varphi)$，且$\int_0^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\mathrm{d}x=0$，则函数$f(x)$的一条对称轴是（　　）

A.$x=\dfrac{5\pi}{6}$

B.$x=\dfrac{7\pi}{12}$

C.$x=\dfrac{\pi}{3}$

D.$x=\dfrac{\pi}{6}$

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正确答案是 A.

解　定积分表示曲边梯形的面积（其中$x$轴上方面积为正，$x$轴下方面积为负）．

结合三角函数的图象知$\int_0^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\mathrm{d}x=0$时，有$\left(\dfrac{\pi}{3},0\right)$是$f(x)$的对称中心．

而$f(x)$的周期为$2\pi$，故$f(x)$的对称轴为

$$x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}+k\pi=k\pi+\dfrac{5\pi}{6}，k\in\mathcal{Z}.$$

下面给出一道练习：

2014湖北高考理科第6题：

若函数$f(x)，g(x)$满足$\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x=0$，则称$f(x)，g(x)$为区间$[-1,1]$上的一组正交函数．给出三组函数：

① $f(x)=\sin\dfrac 12x,g(x)=\cos\dfrac 12x$；

② $f(x)=x+1,g(x)=x-1$；

③ $f(x)=x,g(x)=x^2$．

其中为区间$[-1,1]$上的正交函数的组数是____．

答案　 $2$

提示　①中$f(x)g(x)=\dfrac 12\sin x$，③中$f(x)g(x)=x^3$，两者都为奇函数，为区间$[-1,1]$上的正交函数；②中$f(x)g(x)=x^2-1$在$[-1,1]$上的图象始终在$x$轴下方，积分一定小于零，不满足．