2014年高考湖南理科第9题：
已知函数\(f(x)=\sin(x-\varphi)\)，且\(\int_0^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\mathrm{d}x=0\)，则函数\(f(x)\)的一条对称轴是（ ）
A.\(x=\dfrac{5\pi}{6}\)
B.\(x=\dfrac{7\pi}{12}\)
C.\(x=\dfrac{\pi}{3}\)
D.\(x=\dfrac{\pi}{6}\)
正确答案是 A.
解 定积分表示曲边梯形的面积（其中\(x\)轴上方面积为正，\(x\)轴下方面积为负）．
结合三角函数的图象知\(\int_0^{\frac{2\pi}{3}}f(x)\mathrm{d}x=0\)时，有\(\left(\dfrac{\pi}{3},0\right)\)是\(f(x)\)的对称中心．
而\(f(x)\)的周期为\(2\pi\)，故\(f(x)\)的对称轴为\[x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}+k\pi=k\pi+\dfrac{5\pi}{6}，k\in\mathcal{Z}.\]
下面给出一道练习：
2014湖北高考理科第6题：
若函数\(f(x)，g(x)\)满足\(\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x=0\)，则称\(f(x)，g(x)\)为区间\([-1,1]\)上的一组正交函数．给出三组函数：
① \(f(x)=\sin\dfrac 12x,g(x)=\cos\dfrac 12x\)；
② \(f(x)=x+1,g(x)=x-1\)；
③ \(f(x)=x,g(x)=x^2\)．
其中为区间\([-1,1]\)上的正交函数的组数是____．
答案 \(2\)
提示 ①中\(f(x)g(x)=\dfrac 12\sin x\)，③中\(f(x)g(x)=x^3\)，两者都为奇函数，为区间\([-1,1]\)上的正交函数；②中\(f(x)g(x)=x^2-1\)在\([-1,1]\)上的图象始终在\(x\)轴下方，积分一定小于零，不满足．