每日一题[260] 透过现象看本质

已知偶函数f(x)满足f(x+2)=1f(x),且当x[1,2)时,f(x)=x2,则f(6.5)=_______.


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正确答案是0.5

   已知条件描述了f(x)的两个性质:

① 自变量互为相反数时函数值可以互相推导;

② 自变量差为2时函数值可以互相推导.

于是问题转化成了如何将自变量6.5转化到已知函数解析式的自变量的取值范围[1,2)

QQ20151002-3

如图,一个可行的路径为6.54.52.50.50.51.5,于是对应的书写为f(6.5)=1f(4.5)=f(2.5)=1f(0.5)=1f(0.5)=f(1.5)=1.52=0.5.

注一    在本题中f(x)是以4为周期的周期函数,但是这并不是问题的本质.

注二    在观察描述f(x)的性质的方程时需要透过代数现象看本质,如方程f(1x)+f(3+x)=2的理解过程为:

方程描述了两个函数值的和为2,也就是两个函数值关于1对称;

这两个函数值的特征为自变量的和为4,也就是两个自变量关于2对称;

综合以上两句话,我们得到

当自变量关于2对称时,函数值关于1对称.

翻译为图形语言就是:f(x)的图象关于点(2,1)中心对称.

最后给出一道练习题.

已知函数f(x)同时关于点(a,0)和直线x=b对称,且ab,求证:f(x)是以4|ab|为周期的函数.

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