每日一题[260] 透过现象看本质

已知偶函数$f(x)$满足$f(x+2)=\dfrac{1}{f(x)}$，且当$x\in [1,2)$时，$f(x)=x-2$，则$f(6.5)=$_______．

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正确答案是$-0.5$．

解    已知条件描述了$f(x)$的两个性质：

① 自变量互为相反数时函数值可以互相推导；

② 自变量差为$2$时函数值可以互相推导．

于是问题转化成了如何将自变量$6.5$转化到已知函数解析式的自变量的取值范围$[1,2)$．

如图，一个可行的路径为

$$6.5\to 4.5\to 2.5\to 0.5\to -0.5\to 1.5,$$ 于是对应的书写为 $$f(6.5)=\dfrac{1}{f(4.5)}=f(2.5)=\dfrac{1}{f(0.5)}=\dfrac{1}{f(-0.5)}=f(1.5)=1.5-2=-0.5.$$

注一    在本题中$f(x)$是以$4$为周期的周期函数，但是这并不是问题的本质．

注二    在观察描述$f(x)$的性质的方程时需要透过代数现象看本质，如方程

$$f(1-x)+f(3+x)=2$$ 的理解过程为：

方程描述了两个函数值的和为$2$，也就是两个函数值关于$1$对称；

这两个函数值的特征为自变量的和为$4$，也就是两个自变量关于$2$对称；

综合以上两句话，我们得到

当自变量关于$2$对称时，函数值关于$1$对称．

翻译为图形语言就是：$f(x)$的图象关于点$(2,1)$中心对称．

最后给出一道练习题．

已知函数$f(x)$同时关于点$(a,0)$和直线$x=b$对称，且$a\neq b$，求证：$f(x)$是以$4\left|a-b\right|$为周期的函数．