已知偶函数f(x)满足f(x+2)=1f(x),且当x∈[1,2)时,f(x)=x−2,则f(6.5)=_______.
正确答案是−0.5.
解 已知条件描述了f(x)的两个性质:
① 自变量互为相反数时函数值可以互相推导;
② 自变量差为2时函数值可以互相推导.
于是问题转化成了如何将自变量6.5转化到已知函数解析式的自变量的取值范围[1,2).
如图,一个可行的路径为6.5→4.5→2.5→0.5→−0.5→1.5,于是对应的书写为f(6.5)=1f(4.5)=f(2.5)=1f(0.5)=1f(−0.5)=f(1.5)=1.5−2=−0.5.
注一 在本题中f(x)是以4为周期的周期函数,但是这并不是问题的本质.
注二 在观察描述f(x)的性质的方程时需要透过代数现象看本质,如方程f(1−x)+f(3+x)=2的理解过程为:
方程描述了两个函数值的和为2,也就是两个函数值关于1对称;
这两个函数值的特征为自变量的和为4,也就是两个自变量关于2对称;
综合以上两句话,我们得到
当自变量关于2对称时,函数值关于1对称.
翻译为图形语言就是:f(x)的图象关于点(2,1)中心对称.
最后给出一道练习题.
已知函数f(x)同时关于点(a,0)和直线x=b对称,且a≠b,求证:f(x)是以4|a−b|为周期的函数.