每日一题[310] 一叶知秋

已知无穷数列 $\{a_n\}$ 中，有 $0<a<1$，$a_1=1+a$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}+a$，求证：对一切 $n\in\mathcal N^*$，都有 $a_n>1$．

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证明　由已知，我们不难发现数列 $\{a_n\}$ 为正项数列，即 $a_n>0$.

又 $0<a<1$，知

$$a_1=a+1>1,$$ 不妨先探索 $a_2$，得 $$\begin{split}a_2&=\dfrac{1}{a_1}+a\\&=\dfrac{1}{1+a}+a\\&=\dfrac{1}{1+a}+(1+a)-1\\&>1.\end{split}$$ 其中用到了均值不等式且等号取不到，这样就证明了 $a_2>1$．

接下来再尝试证明 $a_3>1$．

$$\begin{split}a_3&=\dfrac{1}{a_2}+a\\&=\dfrac{1}{\frac{1}{a_1}+a}+a\\&=\dfrac{1}{\frac{1}{a_1}+a}+\left(\dfrac{1}{a_1}+a\right)-\dfrac{1}{a_1}\\&>2-\dfrac{1}{a_1}\\&>1.\end{split}$$ 实际上，可以看出 $a_3>1$ 是由 $a_1>1$ 证明的．

考虑一般地，证明由 $a_n>1$ 可以推得 $a_{n+2}>1$ ．

$$\begin{split}a_{n+2}&=\dfrac{1}{a_{n+1}}+a\\&=\dfrac{1}{\frac{1}{a_n}+a}+a\\&=\dfrac{1}{\frac{1}{a_n}+a}+\left(\dfrac{1}{a_n}+a\right)-\dfrac{1}{a_n}\\&>2-\dfrac{1}{a_n}\\&>1.\end{split}$$ 原命题成立，只需验证 $a_1,a_2>1$ 即可．（想一想为什么呢？）

由上述题目可以看出：用数学归纳法时，并不局限于从 $n\to n+1$，有时也可以从 $n\to n+k$，这时只需要增加验证基础，验证从 $a_1$ 到 $a_k$ 均成立即可，这种从 $n\to n+k$ 的证明方法称为跳跃数学归纳法．

注　在本题中可以定义$a_0=1$，于是由$a_0$可以推出$a_2>1$．

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下面给出一个练习：

邮局有 $3$ 分和 $5$ 分两种邮票，试证明邮费不低于 $8$ 分时，均可由这两种邮票支付．

提示　如果邮费为$n,n\geqslant 8$分时，可以由这两种邮票支付，那么邮费为$n+3$分时，只需再增加一枚$3$分的邮票即可支付，于是只需验证可以用这两种邮票支付$8,9,10$分即可 ．