每日一题[7] 三角形的内切圆

已知$P$为椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$上一点，$F_1$、$F_2$分别为椭圆的两个焦点，圆$M$为三角形$F_1PF_2$的内切圆圆心，$PM$交$x$轴于$N$，求$\dfrac{PM}{MN}$的值．

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设$P$到$x$轴的距离为$h$，内切圆的半径为$r$，则

$$S_{\triangle PF_1F_2}=\dfrac 12(2a+2c)\cdot r=\dfrac 12\cdot (2c)\cdot h.$$

因此

$$\dfrac{PN}{MN}=\dfrac hr=\dfrac {a+c}c,$$

于是

$$\dfrac{PM}{MN}=\dfrac{PN-MN}{MN}=\dfrac{PN}{MN}-1=\dfrac ac=2.$$