每日一题[27] “德艺双馨”

首先，祝大家情人节快乐！

在我看来，数学能力由相辅相成的的两部分组成：偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维；偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维．今天带来一道同时融合几何观察与代数运算的试题．

在平面直角坐标系$xOy$的第一象限有点$P$，满足$OP=1$且直线$OP$的倾斜角为$30^\circ$，过$P$任意作一条直线分别交$x$轴正半轴、$y$轴正半轴于点$M$、$N$，求$OM+ON-MN$的最大值．

不难发现并证明，当$P$点为三角形$MON$的内切圆与边$MN$的切点时，$OM+ON-MN$取得最大值．设三角形$MON$内切圆的圆心为$C(r,r)$，而$P(\cos 30^\circ,\sin 30^\circ)$，于是

$$(r-\cos 30^\circ)^2+(r-\sin 30^\circ)^2=r^2,$$

化简有

$$r^2-2(\sin 30^\circ+\cos 30^\circ)r+1=0,$$

解得

$$r=\sin 30^\circ+\cos 30^\circ-\sqrt{\sin 60^\circ},$$

从而题中所求为

$$2r=1+\sqrt 3-\sqrt[4]{12}.$$

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补充    用类似的想法可以把题中的$30^\circ$推广到一般情形，并求出最大值取值范围，想想看应该怎样求？

答案为

$$m(\theta)=2\left(\sin\theta+\cos\theta-\sqrt{\sin 2\theta}\right),$$

取值范围为$\left[2\left(\sqrt 2-1\right),2\right)$．其中$\theta$的范围在$\left(\arctan\dfrac 12,\arctan 2\right)$．