每日一题[28] 正四面体的投影

这是2006年高考数学浙江理14题，找到运动中的分界点进行恰当的分类讨论是其中的关键之处．

正四面体$ABCD$的棱长为$1$，棱$AB\parallel$平面$\alpha$，则正四面体上的所有点在平面$\alpha$内的射影构成的图形的面积的取值范围是________．

如图，不妨将四面体的棱$AB$平移到平面$\alpha$内，设四面体的顶点$C$、$D$在平面$\alpha$内的射影分别为$P$、$Q$，$PQ\cap AB=M$，则$M$是$AB$的中点．

当点$P$和点$Q$分别在$AB$的两侧时，所求射影面积为

$$\dfrac 12PQ\cdot AB \leqslant \dfrac 12 CD\cdot AB=\dfrac 12,$$

当且仅当$CD\parallel\alpha$时取得等号．

当点$P$和点$Q$在$AB$的同侧时，所求射影面积为

$$\dfrac 12\cdot\max\{MP,MQ\}\cdot AB\geqslant \dfrac 12d\{CD,AB\}\cdot AB=\dfrac{\sqrt 2}4,$$

当且仅当$CD\perp\alpha$时取得等号．

因此所求射影面积的取值范围是$\left[\dfrac{\sqrt 2}4,\dfrac 12\right]$．