每日一题[223] 论证与构造

2014年高考辽宁卷理科数学第12题（选择压轴题，有不改变本质的改动）：

已知定义在$[0,1]$上的函数$f(x)$满足：

①  $f(0)=f(1)=0$；

②  $\forall x,y\in [0,1] \land x\neq y,\left|f(x)-f(y)\right|<\dfrac 12|x-y|$；

若对所有$f(x)$均有$\forall x,y\in [0,1],\left|f(x)-f(y)\right|<k$成立，则$k$的最小值为（        ）

A．$\dfrac 12$

B．$\dfrac 14$

C．$\dfrac{1}{2\pi}$

D．$\dfrac 18$

正确答案为 B．

解    条件①的含义为函数图象的端点是确定的；

条件②的含义为函数图象上任意两点的斜率$\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$在$\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$之间，也就是说函数图象的增长/减少速度是受限的；

题目要求的$k$的最小值也即为函数$f(x)$的值域长度的最大值，由于函数图象从$(0,0)$出发，最终要回到$(1,0)$，于是考虑$f\left(\dfrac 12\right)$．显然在区间$\left[0,\dfrac 12\right]$上，函数值改变量的上界为$\dfrac 14$．于是函数$f(x)$的值域长度的最大值为$\dfrac 14$，如图．

下面进行代数描述：

一方面，当$f(x)$的图象无限接近函数 $$y=\dfrac 14-\dfrac 12\left|\dfrac 12-x\right|, x\in [0,1]$$ 的图象时，函数$f(x)$的值域长度无限接近于$\dfrac 14$；

另一方面，若$f(x)$的值域长度大于或等于$\dfrac 14$，则必然存在$m\in (0,1)$使得 $$\left|f(m)\right|\geqslant \dfrac 14,$$

此时若$m\in\left(0,\dfrac 12\right]$，则令$x=m\land y=0$即可推出 $$\left|f(m)-f(0)\right|<\dfrac 12\left|m-0\right|,$$ 矛盾．

类似的，当$m\in\left(\dfrac 12,1\right)$，可以令$x=m\land y=1$推出矛盾．

因此所求的$k$的最小值为$\dfrac 14$．