每日一题[228] 横看成岭侧成峰

已知三角形ABC的外接圆圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则角C等于_______.


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正确答案是π4

   从不同的角度看待问题,可以得到不同的解决方案.

法一    注意到C=12AOB,因此直接以O为起点求解.

QQ20150902-2

如图,分别延长OAOBCOABC,使得OA=3OAOB=4OBOC=5CO

根据题意,有OC=OA+OB,于是四边形OACB为平行四边形,且OA=3OB=4OC=5

显然OACB为矩形,AOB=π2,进而C=π4


法二    考虑到条件基于O点,而待求量基于C点,因此考虑转化起点.

利用向量的换底公式AB=MBMA将条件的起点换为C3(CACO)+4(CBCO)5CO=0,整理得CO=14CA+13CB,两边分别与CACB作数量积,得{12b2=14b2+13abcosC,12a2=14abcosC+13a2,于是可得cosC=3b4a=2a3b,进而求得cosC=22C=π4


法三    考虑到外接圆的特性,有OAOA=OBOB=OCOC.

不妨设设外接圆的半径为1.已知条件两边分别与OAOBOC作数量积,有{OA(3OA+4OB+5OC)=OA0,OB(3OA+4OB+5OC)=OB0,OC(3OA+4OB+5OC)=OC0,化简得{4cosAOB+5cosAOC=3,3cosAOB+5cosBOC=4,3cosAOC+4cosBOC=5.解得{cosAOB=0,cosBOC=45,cosAOC=35,所以AOB=π2,故C=π4

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每日一题[228] 横看成岭侧成峰》有2条回应

  1. zzz说:

    5OC=4BO+3AO两边平方就有OABO

  2. Pingback引用通告: 每日一题[230] 三角不等式 | Math173

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