已知三角形ABC的外接圆圆心为O，且3→OA+4→OB+5→OC=→0，则角C等于_______．
正确答案是π4．
解 从不同的角度看待问题，可以得到不同的解决方案．
法一 注意到∠C=12∠AOB，因此直接以O为起点求解．
如图，分别延长OA、OB和CO至A′、B′、C′，使得→OA′=3→OA，→OB′=4→OB，→OC′=5→CO．
根据题意，有→OC′=→OA′+→OB′,
于是四边形OA′C′B′为平行四边形，且OA′=3，OB′=4，OC′=5．
显然OA′C′B′为矩形，∠A′OB′=π2，进而C=π4．
法二 考虑到条件基于O点，而待求量基于C点，因此考虑转化起点．
利用向量的换底公式→AB=→MB−→MA
将条件的起点换为C：3(→CA−→CO)+4(→CB−→CO)−5→CO=→0,
整理得→CO=14→CA+13→CB,
两边分别与→CA与→CB作数量积，得{12b2=14b2+13abcosC,12a2=14abcosC+13a2,
于是可得cosC=3b4a=2a3b,
进而求得cosC=√22，C=π4．
法三 考虑到外接圆的特性，有→OA⋅→OA=→OB⋅→OB=→OC⋅→OC.
不妨设设外接圆的半径为1．已知条件两边分别与→OA、→OB、→OC作数量积，有{→OA⋅(3→OA+4→OB+5→OC)=→OA⋅→0,→OB⋅(3→OA+4→OB+5→OC)=→OB⋅→0,→OC⋅(3→OA+4→OB+5→OC)=→OC⋅→0,
化简得{4cos∠AOB+5cos∠AOC=−3,3cos∠AOB+5cos∠BOC=−4,3cos∠AOC+4cos∠BOC=−5.
解得{cos∠AOB=0,cos∠BOC=−45,cos∠AOC=−35,
所以∠AOB=π2，故C=π4．
5→OC=4→BO+3→AO两边平方就有OA⊥BO
Pingback引用通告： 每日一题[230] 三角不等式 | Math173