已知三角形ABC的外接圆圆心为O,且3→OA+4→OB+5→OC=→0,则角C等于_______.
正确答案是π4.
解 从不同的角度看待问题,可以得到不同的解决方案.
法一 注意到∠C=12∠AOB,因此直接以O为起点求解.
如图,分别延长OA、OB和CO至A′、B′、C′,使得→OA′=3→OA,→OB′=4→OB,→OC′=5→CO.
根据题意,有→OC′=→OA′+→OB′,于是四边形OA′C′B′为平行四边形,且OA′=3,OB′=4,OC′=5.
显然OA′C′B′为矩形,∠A′OB′=π2,进而C=π4.
法二 考虑到条件基于O点,而待求量基于C点,因此考虑转化起点.
利用向量的换底公式→AB=→MB−→MA将条件的起点换为C:3(→CA−→CO)+4(→CB−→CO)−5→CO=→0,整理得→CO=14→CA+13→CB,两边分别与→CA与→CB作数量积,得{12b2=14b2+13abcosC,12a2=14abcosC+13a2,于是可得cosC=3b4a=2a3b,进而求得cosC=√22,C=π4.
法三 考虑到外接圆的特性,有→OA⋅→OA=→OB⋅→OB=→OC⋅→OC.
不妨设设外接圆的半径为1.已知条件两边分别与→OA、→OB、→OC作数量积,有{→OA⋅(3→OA+4→OB+5→OC)=→OA⋅→0,→OB⋅(3→OA+4→OB+5→OC)=→OB⋅→0,→OC⋅(3→OA+4→OB+5→OC)=→OC⋅→0,化简得{4cos∠AOB+5cos∠AOC=−3,3cos∠AOB+5cos∠BOC=−4,3cos∠AOC+4cos∠BOC=−5.解得{cos∠AOB=0,cos∠BOC=−45,cos∠AOC=−35,所以∠AOB=π2,故C=π4.
5→OC=4→BO+3→AO两边平方就有OA⊥BO
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