每日一题[190]最大数的最小值

已知$a^2+b^2+c^2=54$，$a+b+c=12$，求$a,b,c$三个数中的最大数的最小值．

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正确答案为$5$．

首先考虑$a,b,c$均为非负数的情形．

视$c$为已知数，则条件变为关于$a,b$的二元二次方程组，下面研究该方程组有解的条件．

由

$$2\left(a^2+b^2\right)\geqslant (a+b)^2$$ 得 $$2\left(54-c^2\right)\geqslant \left(12-c\right)^2,$$ 解得 $$2\leqslant c\leqslant 6.$$

当$c=2$时，$a=b=5$满足要求，此时$a,b,c$三个数中最大数为$5$．下面证明三个数中的最大数不可能小于$5$：
不妨设$a\geqslant b\geqslant c$，则$a\geqslant 4$，下面用反证法证明$a\geqslant 5$：
否则$a<5$，$b,c$满足

$$\begin{cases} b^2+c^2=54-a^2,\\b+c=12-a,\end{cases}$$ 从而得到 $$\begin{cases}b+c=12-a,\\bc=a^2-12a+45,\end{cases}$$ 即$b,c$为一元二次方程 $$x^2-(12-a)x+(a^2-12a+45)=0$$ 的两根，其中$a$为参数，且$a\in [2,5)$．记左边对应的函数为$f(x)$，则有 $$f(5)=(a-2)(a-5)<0,$$ 所以这个一元二次方程的大根$b$大于$5$，与$a$是$a,b,c$中最大的数，且$a<5$矛盾．

当$a,b,c$中存在负数时，由$a+b+c=12$可知最大数一定不小于$6$．

综上，$a,b,c$三个数中的最大数的最小值为$5$．