2026年9月湖北武汉市高三调研数学试卷#11
在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个锥，张开的空间范围就叫立体角．以锥的顶点为球心，作半径为 $1 $ 的单位球面，这个锥会在球面截取一块曲面，该曲面的面积就是立体角的大小．现有底面半径为 $ 2$ 的圆锥，设母线长为 $l$，记其顶点锥口的立体角为 $\Omega_1$．另有四棱锥 $P-ABCD$，其底面是边长为 $2$ 的正方形，记其顶点锥口的立体角为 $\Omega_2$．则下列说法中正确的有（ ）
A．对任意 $l>0$，$\Omega_1<2\pi$
B．若 $l=2\sqrt 2$，则 $\Omega_1=\dfrac{2\pi}3$
C．当 $PA\perp~\text{平面}~ABCD$ 时，若 $\Omega_2=\dfrac{\pi}6$，则 $PA=2$
D．当四棱锥 $P-ABCD$ 是正四棱锥时，若 $\Omega_2=\dfrac{2\pi}3$，则 $PA=\sqrt 3$
答案 ACD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，立体角截球面的面积不超过半球面面积，因此立体角的大小不超过 $2\pi$，且仅当构成立体角的锥的射线均共面时立体角的大小为 $2\pi$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，根据立体角的定义和球冠的面积公式，有\[ \Omega_1=\frac{2\pi l\left(l-\sqrt{l^2-r^2}\right)}{l^2}=2\pi\left(1-\sqrt{1-\left(\frac rl\right)^2}\right)=\pi\left(2-\sqrt 2\right),\]其中 $r,l$ 分别为圆锥的底面半径和母线长，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，根据立体角的定义以及球面多边形面积公式，当底面为四边形时，立体角的大小相邻侧面形成的 $4$ 个二面角之和减去 $2\pi$，当 $PA\perp ABCD$ 时，有\[\begin{split}\Omega_2&=\langle D-PA-B\rangle+\langle A-PB-C\rangle+\langle B-PC-D\rangle+\langle C-PD-A\rangle-2\pi\\ & =\frac{\pi}2+\frac{\pi}2+\langle B-PC-D\rangle+\frac{\pi}2-2\pi\\ &=\langle B-PC-D\rangle-\frac{\pi}2,\end{split}\]因此 $\langle B-PC-D\rangle=\frac{2\pi}3$，设 $\angle PCB=\angle PCD=\theta$，则根据三射线定理，有\[\cos\angle BCD=\cos\angle PCB\cos\angle PCD+\sin\angle PCB\sin\angle PCD\cos\varphi\implies 0=\cos^2\theta-\frac 12\sin^2\theta,\]因此 $\tan\theta=\sqrt 2$，进而 $PB=PD=2\sqrt2$，从而 $PA=2$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，根据三射线定理，设 $\angle PAB=\theta$，$\langle B-PA-D\rangle =\varphi$，则\[0=\cos^2\theta+\cos\varphi\sin^2\theta\iff \tan^2\theta\cos\varphi=-1\iff \left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right)\cos\varphi=-1,\]也即\[\left(PA^2-1\right)\cos\frac{\Omega_2+2\pi}4=-1,\] 选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．
备注 事实上，注意到单位球的表面积为 $4\pi$，因此若 $\Omega=\frac{2\pi}3$，则考虑单位球内接正方体，此时体心与任意底面形成的锥对应的空间角为 $\frac{2\pi}3$，因此选项 $\boxed{D}$ 正确；而过这个正四棱锥的高作两个互相垂直的平面把底面划分成四个全等的正方形，则 $4$ 个小锥的立体角均为 $\frac{\pi}3$，进而选项 $\boxed{C}$ 正确．
