在一次数学活动中，一位同学设计了有序实数组 $A=\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$，$a_i\in\{0,1\}$，$i=1,2,3,\cdots,n$，$f(A)$ 表示把 $A$ 中每个 $ 1$ 替换为两个连续元素 $0,0$，每个 $0$ 替换为一个元素 $ 1$，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如 $A=\{0,1\}$，则 $f(A)=\{1,0,0\}$．定义 $A_{k+1}=f\left(A_k\right)$，$k\in\mathbb N^{\ast}$ 若 $A_1=\{0,1\}$，则 $A_1,A_2,A_3,\cdots,A_{100}$ 中 $1 $ 的总个数为_____．
答案 $2^{51}-2$．
解析 设 $A_n$ 中 $1$ 和 $0$ 的数量分别为 $x_n,y_n$，则 $x_1=y_1=1$，且\[\begin{cases} x_{k+1}= y_k,\\ y_{k+1}=2x_k,\end{cases}\implies x_{k+2}=2x_k,\]其中 $x_1=x_2=1$，从而该数列的奇子列和偶子列均为首项为 $1$ 公比为 $2$ 的等比数列，于是所求 $A_1,A_2,A_3,\cdots,A_{100}$ 中 $1 $ 的总个数为\[ 2\sum_{k=1}^{50}2^{k-1}=2\left(2^{50}-1\right)=2^{51}-2.\]