每日一题[170] 化椭为圆

2015年高考山东卷理科数学第20题（解析几何大题）：

平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt 3}2\)，左、右焦点分别是\(F_1\)、\(F_2\)．以\(F_1\)为圆心，以\(3\)为半径的圆与以\(F_2\)为圆心，以\(1\)为半径的圆相交，且交点在椭圆\(C\)上．

（1）求椭圆\(C\)的方程；

（2）设椭圆\(E:\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{4b^2}=1\)，\(P\)为椭圆\(C\)上任意一点，过点\(P\)的直线\(y=kx+m\)交椭圆\(E\)于\(A\)、\(B\)两点，射线\(PO\)交椭圆\(E\)于点\(Q\)．① 求\(\dfrac{|OQ|}{|OP|}\)的值；② 求\(\triangle ABQ\)面积的最大值．

（1）解    显然椭圆\(C\)的长轴长为\(4\)，于是方程为\(\dfrac{x^2}4+y^2=1\)．

（2）解    ① \(2\)；

② 如图，将椭圆\(C\)和椭圆\(E\)伸缩变换为圆\(C':x^2+y^2=4\)和圆\(E':x^2+y^2=16\)．设变换后\(AB\)与\(PQ\)所成角为\(\theta\)，原点\(O\)到直线\(AB\)距离为\(d\)，则\[\begin{split}S_{\triangle QAB}&=\dfrac 12\sin\theta \cdot AB\cdot PQ\\&=\dfrac 12 \cdot \dfrac{d}2\cdot 2\sqrt{4^2-d^2}\cdot 6\\&=3\sqrt{d^2\left(16-d^2\right)},\end{split}\]由于\(0\leqslant d^2\leqslant 4\)，于是当\(d^2=4\)时，三角形\(QAB\)的面积取得最大值为\(12\sqrt 3\)．于是变换前三角形\(QAB\)面积的最大值为\(6\sqrt 3\)．