2026年3月广东广州市一模数学试卷 #14
某公园里有一块边长分别为 $30$ 米、$40$ 米、$50$ 米的三角形草坪（记为 $\triangle ABC$），点 $D,E$ 在 $\triangle ABC$ 的边上，线段 $DE$ 把草坪分成面积相等的两部分．如果沿 $DE$ 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为_____米．
答案 $20$．
解析 设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $(a,b,c)=(3,4,5)$，这是一个以 $C$ 为直角面积为 $6$ 的三角形，则 $\triangle XDE$ 的面积为 $3$，其中 $X\in \{A,B,C\}$．当 $X$ 固定时，利用余弦定理（或双曲线的相交直线定义）可以证明当 $|XD|=|XE|$ 时，$ |DE| $ 取得最小值 $ 2\sqrt{3\tan\frac X2}$，而 $A,B,C$ 中，$A$ 最小，且\[\tan A=\dfrac 34\implies \frac{2\tan\frac A2}{1-\tan^2\frac A2}=\dfrac 34\implies \tan\frac A2=\frac 13,\]于是 $|DE|$ 的最小值为\[2\sqrt{3\tan\frac A2}=2,\]因此水管的最短长度为 $20$ 米．