每日一题[168] 解三角形

2013年高考浙江理科数学第10题（选择压轴题）：

在空间中，过点$A$作平面$\pi$的垂线，垂足为$B$，记$B=f_{\pi}(A)$，设$\alpha$，$\beta$是两个不同的平面，对空间任意一点$P$，$Q_1=f_{\beta}\left[f_{\alpha}(P)\right]$，$Q_2=f_{\alpha}\left[f_{\beta}(P)\right]$，恒有$PQ_1=PQ_2$，则（        ）

A．平面$\alpha$与平面$\beta$垂直

B．平面$\alpha$与平面$\beta$所成的（锐）二面角为$45^\circ$

C．平面$\alpha$与平面$\beta$平行

D．平面$\alpha$与平面$\beta$所成的（锐）二面角为$60^\circ$

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正确答案是A．

将$P$取在平面$\alpha$内即得，接下来我们证明这个结论．

如图，只需要在过$P$且与直线$\alpha \cap\beta$垂直的截面内思考问题．设$\angle PO\alpha =x$，$\angle PO\beta=y$，$OP=1$，则

$$\begin{split}PM=\sin x,\\MQ_1=\cos x\sin (x+y),\end{split}$$ 于是在$\triangle PMQ_1$中应用余弦定理，有 $$PQ_1^2=\sin^2x+\left(\cos x\sin (x+y)\right)^2-2\sin x\cos x\sin (x+y)\cos (x+y),$$ 类似的，可得 $$PQ_2^2=\sin^2y+\left(\cos y\sin (x+y)\right)^2-2\sin y\cos y\sin (x+y)\cos (x+y),$$ 因此 $$\sin^2x-\sin^2y+\left(\cos^2x-\cos^2y\right)\sin^2(x+y)-\left(\sin 2x-\sin 2y\right)\sin (x+y)\cos (x+y)=0,$$ 即 $$\left(\sin^2x-\sin^2y\right)\cos^2 (x+y)=0,$$ 于是可得$x+y=\dfrac{\pi}2$，因此$\alpha \perp \beta$．