2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#14
已知 $\omega>0$，曲线 $y=\sin\omega x$ 与 $y=\sin\left(\dfrac{\pi}3-\omega x\right)$ 相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则 $\omega=$ _____．
答案 $\pi$．
解析 联立两条曲线，有\[\omega x-\left(\dfrac{\pi}3-\omega x\right)=2k\pi,~\text{或}~\omega x+\left(\dfrac{\pi}3-\omega x\right)=2k\pi+\pi,\]其中 $k\in\mathbb Z$，解得\[x=\dfrac{6k+1}{6\omega}\pi,k\in\mathbb Z,\]进而\[\sin(\omega x)=\sin\left(k\pi+\dfrac{\pi}6\right)=\begin{cases} \frac 12,&k~\text{是偶数},\\ -\frac 12,&k~\text{是奇数},\end{cases}\]
因此题中相邻的三个交点（依次设为 $A,B,C$）是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边上的高为 $\dfrac 12-\left(-\dfrac 12\right)=1$，进而\[|AC|=2\iff \dfrac{12}{6\omega}\pi=2\iff \omega=\pi.\]