2026年1月江苏南京盐城高三一模数学#11
在直角 $\triangle{ABC}$ 中，已知 ${AC}=\sqrt 3$，$B=\dfrac{{\pi}}6$，$D$ 为斜边 ${AB}$ 的中点，将 $\triangle{ACD}$ 沿着 $CD$ 所在直线翻折，得到 $\triangle PCD$，记三棱锥 $P-BCD$ 体积为 $V$，则在翻折过程中（ ）
A．$V$ 的最大值为 $\dfrac{9\sqrt 3}8$
B．存在某个位置，使得 $CP\perp BD$
C．当 $V$ 取最大值时，直线 $PC$ 与平面 $BCD$ 所成的角最大
D．当 $V$ 取最大值时，三棱锥 $P-{BCD}$ 外接球的半径为 $\dfrac{\sqrt{13}}2$
答案 BCD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，作 $AH\perp CD$ 于 $H$，有\[ V=\dfrac 13\cdot [\triangle BCD]\cdot d(A,BCD)\leqslant \dfrac 13\cdot [\triangle BCD]\cdot |AH|=\dfrac 13\cdot \dfrac{3\sqrt 3}4\cdot \dfrac 32=\dfrac{3\sqrt 3}8,\]等号当 $PH\perp BCD$ 时取得，选项错误；
对于选项 $\boxed{B}$，设 $A$ 关于 $CD$ 的对称点为 $O_1$，在翻折过程中，$P$ 在面 $BCD$ 上的投影 $K$ 从 $A$ 移动到 $O_1$，因此存在 $CP\perp BD$ 的位置（此时 $P$ 的投影为 $\triangle ACD$ 的中心），选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，根据题意，有\[\sin\langle PC,BCD\rangle =\sin\angle PCK=\dfrac{|PK|}{|PC|}\leqslant \dfrac{|PH|}{PC|},\]等号当 $K=H$ 即 $PH\perp BCD$ 时取得，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，根据题意，$O$ 在面 $BCD$ 上的投影为 $\triangle BCD$ 的外心 $O_1$，设 $\overline {HP}=\dfrac 32$，$\overline {OO_1}=x$，则三棱锥 $P-BCD$ 的外接球半径 $R$ 满足\[R^2=|O_1B|^2+|OO_1|^2=\left(\overline{OO_1}+\overline{HP}\right)^2+|HO_1|^2,\]即\[R^2=3+x^2=\left(\dfrac 32+x\right)^2+\left(\dfrac 32\right)^2\iff (R,x)=\left(\dfrac{\sqrt{13}}2,-\dfrac 12\right),\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．