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2015年高考陕西卷理科数学第12题（选择压轴题）：

对二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a$为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（        ）

A．$-1$是$f(x)$的零点

B．$1$是$f(x)$的极值点

C．$3$是$f(x)$的极值

D．点$(2,8)$在曲线$y=f(x)$上

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正确答案是A．

由于选项B，C都在描述二次函数顶点，于是优先将它们放在一起考虑．

情形一    选项B、C同时正确

此时可以由二次函数的顶点式设其解析式为

$$f(x)=a(x-1)^2+3,$$ 若选项A正确，则$a=-\dfrac 34$；若选项D正确，则$a=5$．结合$a$是非零整数的条件，不难得到正确的答案是A．

情形二    选项A、D同时正确

此时应该从二次函数的零点出发考虑．

①    选项C显然不正确，因为$f(-1)<3<f(2)$，于是$3$一定不是二次函数$f(x)$的极值；

②    若选项B正确，则另一个零点为$3$，此时可由二次函数的两根式设其解析式为

$$f(x)=a(x+1)(x-3),$$ 结合选项D正确可得$a=-\dfrac 83$，矛盾．

综上，正确答案是A．