关于定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)$，以下说法正确的有_____．
① 存在在 $\mathbb R$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立；
② 存在在 $\mathbb R$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2x)=-x$ 恒成立；
③ 使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；
④ 使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．
答案 ②③．
解析 对于命题 ①，函数 $y=f(x)+f(2x)$ 为单调递增函数，命题错误；
对于命题 ②，函数 $f(x)=-\dfrac x3$ 满足要求 $^{[1][2][3]}$，命题正确；
对于命题 ③，函数 $f(x)=\dfrac{\cos x}2+g(x)$，其中 $g(x)$ 是任意奇函数即可，命题正确；
对于命题 ④，取 $x=0$，则左边为 $0$，右边为 $1$，命题错误；
综上所述，正确的说法有 ②③．
备注
$[1]$ 对于命题 ②，设 $g(x)=f(x)+\dfrac x3$，则 $g(0)=f(0)=0$，有\[g\left(\dfrac x{2^k}\right)+g\left(\dfrac{x}{2^{k-1}}\right)=0\implies g\left(\dfrac{x}{2^k}\right)=(-1)^k\cdot g(x),\]若 $g(x_0)\ne 0$，则\[f\left(\dfrac{x_0}{2^k}\right)=-\dfrac{x_0}{3\cdot 2^k}+g\left(\dfrac{x_0}{2^k}\right)=-\dfrac{x_0}{3\cdot 2^k}+(-1)^k\cdot g(x_0),\]当 $\left|-\dfrac{x_0}{3\cdot 2^k}\right|<|g(x_0)|$，即 $k>\log_2\left|\dfrac{x_0}{3\cdot g(x_0)}\right| $ 时，$f\left(\dfrac{x_0}{2^k}\right)$ 的符号由 $(-1)^k\cdot g(x_0)$ 确定，于是在原点某侧总能找到符号不同的函数值，这与函数 $f(x)$ 单调递减矛盾，因此满足条件的函数 $f(x)$ 是唯一的．
$[2]$ 由以上的证明过程，将条件 $f(x)$ 单调递减改成 $f(x)$ 连续，也可以唯一确定函数 $f(x)$．
$[3]$ 如果去掉条件 $f(x)$ 单调递减，则有\[f(2x)=-x-f(x),\]因此任意定义函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2)$ 以及 $(-2,-1]$ 上的解析式，并补充定义 $f(0)=0$ 即可．为了尽量美观，可以设法让 $f(x)$ 几乎处处连续（不保证 $x=0$ 处），只需 $f(1)=f(2),f(-1)=f(-2)$，如\[g(x)=\begin{cases} \sin\left(\pi\cdot {\log_2x}\right),&x>0,\\ 0,&x=0,\\ -g(-x),&x<0.\end{cases}\]