已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$，过定点 $P(0,-2)$ 的直线交椭圆于 $A,B$，$\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt 2$，则 $|AB|=$_____．
答案 $\sqrt 5$．
解析 椭圆的半长轴 $a=2$，半短轴 $b=\sqrt 2$，$\triangle OAB$ 的面积为 $\dfrac 12ab$，因此 $OA,OB$ 是共轭半径，也即在伸缩变换 $(x',y')=(x,\sqrt 2y)$ 下，$A,B$ 的对应点 $A',B'$ 满足 $OA'\perp OB'$，也即 $|A'B'|=2\sqrt 2$，$d(O,A'B')=\sqrt 2$，进而 $A'B'$ 的斜率为 $\sqrt 3$，因此\[|AB|=\dfrac{\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right)^2}}{\sqrt{1+(\sqrt 3)^2}}\cdot 2\sqrt 2=\sqrt 5.\]