已知椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$，定点 $A(2,1),B(3,-2)$，点 $P$ 是椭圆上的动点，直线 $PA,PB$ 分别交椭圆于不同于 $P$ 的点 $M,N$，求证：直线 $MN$ 过定点．
答案 直线 $MN$ 过定点 $\left(\dfrac 67,\dfrac 17\right)$．
解析 设 $P(x_0,y_0),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BN}=\mu \overrightarrow{BP}$，则\[\begin{cases} \lambda =\frac{x_1-2}{x_0-2}=\frac{y_1-1}{y_0-1}=-\frac{x_1+y_1-1}{x_0+y_0-1},\\ \mu=\frac{x_2-3}{x_0-3}=\frac{y_2+2}{y_0+2}=-\frac{3x_2-4y_2-2}{3x_0-4y_0-2},\end{cases}\]于是\[\begin{cases} -\frac{x_1+y_1-1}{x_0+y_0-1}=\frac{3(x_1-2)-4(y_1-1)}{3(x_0-2)-4(y_0-1)}=\frac{3x_1-4y_1-2}{3x_0-4y_0-2},\\ -\frac{3x_2-4y_2-2}{3x_0-4y_0-2}=\frac{(x_2-3)+(y_2+2)}{(x_0-3)+(y_0+2)}=\frac{x_2+y_2-1}{x_0+y_0-1},\end{cases}\]因此\[\dfrac{x_1+y_1-1}{x_2+y_2-1}=\dfrac{3x_4-y_1-2}{3x_2-4y_2-2}=\dfrac{7x_1-6}{7x_2-6}=\dfrac{7y_1-1}{7y_2-1},\]因此直线 $MN$ 过定点 $\left(\dfrac 67,\dfrac 17\right)$．