已知椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$，定点 $P(2,1),Q(0,3)$，过 $P$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，直线 $QA$ 交直线 $x+y=1$ 于 $C$，设直线 $AC,BC$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求证：$\frac{1}{k_1+1}-\frac{1}{k_2+1}$ 为定值．
答案 为定值 $-2$．
解析 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(m,1-m)$，且 $\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{PB}$，则\[\begin{cases} \frac{1}{k_1+1}=\dfrac{1}{\frac{y_1+m-1}{x_1-m}+1}=\frac{x_1-m}{x_1+y_1-1}=\frac{1}{{\frac{(1-m)-3}{m}+1}}=-\frac 12m,\\ \frac{1}{k_2+1}=\frac{1}{\frac{y_2+m-1}{x_2-m}+1}=\frac{x_2-m}{x_2+y_2-1},\end{cases}\]且\[ \lambda =\dfrac{x_1-2}{x_2-2}=\dfrac{y_1-1}{y_2-1}=-\dfrac{x_1+y_1-1}{x_2+y_2-1},\]于是\[\begin{cases} \frac{x_1-2}{x_1+y_1-1}+\frac{x_2-2}{x_2+y_2-1}=0,\\ \frac{y_1-1}{x_1+y_1-1}+\frac{y_2-1}{x_2+y_2-1}=0,\end{cases}\iff \begin{cases} \frac{x_1}{x_1+y_1-1}+\frac{x_2}{x_2+y_2-1}= 2t,\\ \frac{y_1}{x_1+y_1-1}+\frac{y_2}{x_2+y_2-1}= t,\end{cases}\]其中 $t=\frac{1}{x_1+y_1-1}+\frac{1}{x_2+y_2-1}$，于是\[2t+t-t=2\iff t=1,\]因此\[\frac{1}{k_1+1}+\frac{1}{k_2+1}=\left(\frac{x_1}{x_1+y_1-1}+\frac{x_2}{x_2+y_2-1}\right)-m\left(\frac{1}{x_1+y_1-1}+\frac{1}{x_2+y_2-1}\right)=2t-mt=2-m,\]从而\[\dfrac{1}{k_1+1}-\dfrac1{k_2+1}=2\cdot \dfrac{1}{k_1+1}-\left(\dfrac{1}{k_1+1}+\dfrac{1}{k_2+1}\right)=2\cdot \left(-\frac 12m\right)-(2-m)=-2,\]为定值，命题得证．
设直线 $AC:f(x,y)=kx-y+3=0$，$g(x,y)=\dfrac{x^2}2+y^2-1$，则直线 $BC$ 的方程为\[g(Q)\cdot f(x,y)-2f(Q)\cdot g_Q(x,y)=0,\]即\[(kx-y-3)-(2k+2)(x+y-1)=0,\]于是 $k_2=-\frac{k+2}{2k+3}$，于是\[\frac{1}{k_1+1}-\frac{1}{k_2+1}=\frac{1}{k+1}-\frac{2k+3}{k+1}=-2,\]为定值．