已知双曲线 $x^2-y^2=3$，过 $P(1,1)$ 的直线与双曲线交于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在直线 $y=x-3$ 上且直线 $AC$ 的斜率为 $-2$，求证：直线 $BC$ 过定点．
答案 直线 $BC$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$．
解析 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，且 $\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{PB}$，则\[\begin{cases} y_3=x_3-3,\\ \frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}=-2,\end{cases}\implies (x_3,y_3)=\left(\frac{2x_1+y_1+3}3,\frac{2x_1+y_1-6}3\right),\]而\[ \lambda =\dfrac{x_1-1}{x_2-1}=\dfrac{y_1-1}{y_2-1}=-\dfrac{x_1-y_1-3}{x_2-y_2-3},\]于是 $^{[1]}$\[ \dfrac{5(x_1-1)+(y_1-1)-(x_1-y_1-3)}{5(x_2-1)+(y_2-1)+(x_2-y_2-3)}=\dfrac{(x_1-1)+2(y_1-1)+(x_1-y_1-3)}{(x_2-1)+2(y_2-1)-(x_2-y_2-3)},\]即\[\dfrac{4x_1+2y_1-3}{3(2x_2-3)}=\dfrac{2x_1+y_1-6}{3y_2}\iff \dfrac{2x_3-3}{2x_2-3}=\dfrac{y_3}{y_2},\]因此直线 $BC$ 过定点 $\left(\dfrac 32,0\right)$．
$[1]$ 左边分子 $x_1,y_1$ 系数比为 $2:1$，分母不含 $y_2$；右边分子 $x_1,y_1$ 系数比为 $2:1$，分母不含 $x_2$．
设 $AC:f(x,y)=2x+y+m=0$，$g(x,y)=x^2-y^2-3$，则直线 $BC$ 的方程为\[ g(P)\cdot f(x,y)-2\cdot f(P)\cdot g_P(x,y)=0,\]即\[-3(2x+y+m)-2(3+m)(x-y-3)=0\iff (-12x+3y+18)+m(-2x+2y+3)=0,\]进而直线 $BC$ 过定点 $\left(\frac 32,0\right)$．