已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、$y$ 轴，且过 $A(0,-2)$，$ B\left(\dfrac{3}{2},-1\right)$ 两点．
1、求 $E$ 的方程．
2、设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$．证明：直线 $H N$ 过定点．
解析
1、$\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}4=1$；
2、如图，考虑到当 $M\to A$ 时，$H\to A$，猜测 $HN$ 过定点 $A$．设 $PN:\begin{cases} x=1+t\cos\alpha,\\ y=-2+t\sin\alpha,\end{cases}$ 与椭圆联立可得\[(3\sin^2\alpha+4\cos^2\alpha)t^2+(8\cos\alpha-12\sin\alpha)t+4=0.\]设 $M,N$ 点对应的参数分别为 $t_1,t_2$．直线 $AB:y=\dfrac 23x-2$，于是 $T$ 点与 $M$ 点的纵坐标相同，均为 $-2+t_1\sin\alpha$，进而 $T$ 点的横坐标为 $\dfrac 32t_1\sin\alpha$，因此\[\overrightarrow{PH}=(3t_1\sin\alpha-t_1\cos\alpha-2,t_1\sin\alpha),\]设 $\overrightarrow{PH}=\lambda\overrightarrow {PN}+\mu \overrightarrow{PA}$，则\[\begin{cases} \lambda t_2\cos\alpha-\mu=3t_1\sin\alpha-t_1\cos\alpha-2,\\ \lambda t_2\sin\alpha=t_1\sin\alpha,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} \lambda=\dfrac{t_1}{t_2},\\ \mu =2t_1\cos\alpha-3t_1\sin\alpha+2,\end{cases}\]因此\[\lambda+\mu=t_1\left(2\cos\alpha-3\sin\alpha+\dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}\right)+1,\]而根据韦达定理有\[\dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}=\dfrac{12\sin\alpha-8\cos\alpha}{4},\]因此 $\lambda+\mu=1$，直线 $HN$ 过定点 $A(0,-2)$．
如图，考虑到当 $M\to A$ 时，$H\to A$，猜测 $HN$ 过定点 $A$．根据题意，设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则\[\begin{split} PM&:y=\dfrac{y_1+2}{x_1-1}(x-1)-2,\\ AN&:y=\dfrac{y_2+2}{x_2}x-2,\\ AB&:y=\dfrac 23x-2,\end{split}\]直线 $l:y=y_1$ 与 $AN,AB$ 分别联立，可得\[H\left(\dfrac{x_2(y_1+2)}{y_2+2},y_1\right),\quad T\left(\dfrac 32(y_1+2),y_1\right),\]接下来只需要证明\[2\cdot \dfrac 32(y_1+2)=\dfrac{x_2(y_1+2)}{y_2+2}+x_1,\]即\[3(y_1+2)(y_2+2)=x_2(y_1+2)+x_1(y_2+2),\]设 $MN:x=m(y+2)+1$，则只需要证明\[3(y_1+2)(y_2+2)=\left(m(y_2+2)+1\right)(y_1+2)+\left(m(y_1+2)+1\right)(y_2+2),\]即\[\dfrac{1}{y_1+2}+\dfrac{1}{y_2+2}=3-2m,\]联立直线 $MN$ 与椭圆 $E$ 可得\[\dfrac{\left(m(y+2)+1\right)^2}{3}+\dfrac{\left((y+2)-2\right)^2}{4}=1,\]即\[\left(\dfrac {m^2}3+\dfrac14\right)(y+2)^2+\left(\dfrac{2m}3-1\right)(y+2)+\dfrac 13=0,\]结合韦达定理，命题得证．
设 $MN$ 与 $AB$ 交于点 $Q$，注意到极点 $P$ 对应的极线为 $AB$，因此 $P,Q;M,N$ 为调和点列．连接 $AP$，则 $AP,AQ;AM,AN$ 为调和线束，而 $MT\parallel AP$，设直线 $MT$ 与 $AN$ 交于 $H'$，则 $\infty,T;M,H'$ 为调和点列，于是 $T$ 平分 $H'M$，从而 $H=H'$，因此直线 $HN$ 过定点 $A$．
如图，考虑到当 $M\to A$ 时，$H\to A$，猜测 $HN$ 过定点 $A$．设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，且 $\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{PN}$，则\[ \lambda=\dfrac{x_1-1}{x_2-1}=\dfrac{y_1+2}{y_2+2}=-\dfrac{2x_1-3y_1-6}{2x_2-3y_2-6},\] 注意到 $T$ 是 $HM$ 的中点，于是\[\dfrac{1}{k_{AH}}+\dfrac{1}{k_{AM}}=\dfrac{x_H}{y_H+2}+\dfrac{x_M}{y_M+2}=\dfrac{2x_T}{y_T+2}=\dfrac{2}{k_{AT}}=3,\]接下来证明\[\dfrac{1}{k_{AN}}+\dfrac{1}{k_{AM}}=3\impliedby \dfrac{x_1}{y_1+2}+\dfrac{x_2}{y_2+2}=3\impliedby \dfrac{2x_1-3y_1-6}{y_1+2}+\dfrac{2x_2-3y_2-6}{y_2+2}=0,\]于是 $A,H,N$ 共线，也即 $HN$ 过定点 $A$．