已知双曲线 $x^2-y^2=4$，定点 $P(4,2)$，求证：直线 $y=x+1$ 上存在点 $Q$，使得直线 $QA,QB$ 的斜率之积为定值．
答案 存在点 $Q(3,4)$，使得直线 $QA,QB$ 的斜率之积为定值 $4$，
解析 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{PB}$，则\[\lambda=\dfrac{x_1-4}{x_2-4}=\dfrac{y_1-2}{y_2-2}=-\dfrac{2x_1-y_1-2}{2x_2-y_2-2},\]于是 $^{[1]}$\[\dfrac{2(x_1-4)+(y_1-2)+(2x_1-y_1-2)}{-2(x_1-4)-(y_1-2)+(2x_1-y_1-2)}=\dfrac{2(x_2-4)+(y_2-2)+(-2x_2+y_2+2)}{-2(x_2-4)-(y_2-2)+(-2x_2+y_2+2)},\]即\[\dfrac{4x_1-12}{-2y_1+8}=\dfrac{2y_2-8}{-4x_2+12}\iff \frac{4}{-2}\cdot\dfrac{x_1-3}{y_1-4}=\dfrac2{-4}\cdot \dfrac{y_2-4}{x_2-3}\iff \dfrac{y_1-4}{x_1-3}\cdot \dfrac{y_2-4}{x_2-3}=4,\]因此存在点 $Q(3,4)$，使得直线 $QA,QB$ 的斜率之积为定值 $4$．
$[1]$ 通过配凑使其具有形式\[\dfrac{\text{只包含}~x_1}{\text{只包含}~y_1}=\dfrac{\text{只包含}~y_2}{\text{只包含}~x_2}.\]