已知双曲线 $\dfrac{x^2}3-y^2=1$，$F_1,F_2$ 是双曲线的左、右焦点，$P$ 是双曲线上的动点，$PF_1,PF_2$ 分别交双曲线于不同于 $P$ 的点 $M,N$，直线 $MF_2,NF_1,PF_1,PF_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，求证：存在常数 $\mu$，使得 $\dfrac 1{k_1}+\dfrac1{k_2}=\mu\left(\dfrac{1}{k_3}+\dfrac{1}{k_4}\right)$．
答案 $\mu =-15$．
解析 设 $P(x_0,y_0),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则\[\begin{cases} \left(\frac{x_1y_0-y_1x_0}{y_0-y_1},\frac{x_1y_0+y_1x_0}{y_0+y_1}\right)=\left(-2,-\frac 32\right),\\ \left(\frac{x_2y_0-y_2x_0}{y_0-y_2},\frac{x_2y_0+y_2x_0}{y_0+y_2}\right)=\left(2,\frac 32\right),\end{cases}\implies \begin{cases} x_1y_0=-\frac 74y_0+\frac 14y_1,\\ x_0y_1=\frac 14y_0-\frac 74y_1,\\ x_2y_0=\frac 74y_0-\frac 14y_2,\\ x_0y_2=-\frac 14y_0-\frac 74y_2,\end{cases}\implies \begin{cases} (4x_0+7)x_1=-7x_0-12,\\ (4x_0+7)y_1=y_0,\\ (4x_0-7)x_2=7x_0-12,\\ (4x_0-7)y_2=-y_0,\end{cases}\]因此\[\dfrac{\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}{\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4}}=\dfrac{\frac{x_1-2}{y_1}+\frac{x_2+2}{y_2}}{\frac {x_0+2}{y_0}+\frac{x_0-2}{y_0}}=\dfrac{\frac{(-7x_0-12)-2(4x_0+7)}{y_0}+\frac{\left(7x_0-12\right)+2(4x_0-7)}{-y_0}}{\frac{2x_0}{y_0}}=-15.\]