已知椭圆 $\dfrac{x^2}5+\dfrac{y^2}4=1$，$P$ 是椭圆上的动点，点 $A$ 在椭圆上且直线 $AP$ 过点 $M(0,1)$，点 $B$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上且直线 $BP$ 过点 $N\left(0,\dfrac12\right)$，$B,P$ 在 $y$ 轴两侧，求证：直线 $AB$ 过定点．
答案 定点 $\left(0,-\dfrac 12\right)$．
解析 设 $P(x_0,y_0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则\[\begin{cases} \left(\dfrac{x_1y_0-x_0y_1}{x_1-x_0},\dfrac{x_1y_0+x_0y_1}{x_1+x_0}\right)=(1,4),\\ \dfrac{x_2y_0-x_0y_2}{x_2-x_0}=\frac 12,\\ x_2^2+y_2^2=1,\end{cases}\]由第一个式子可得\[ (x_1,y_1)=\left(\frac{3x_0}{2y_0-5},\frac{5y_0-8}{2y_0-5}\right),\]由第二个式子可得\[x_2(2y_0-1)=x_0(2y_2+1),\]于是\[\dfrac{(2y_2-1)^2}{(2y_0-1)^2}=\dfrac{x_2^2}{x_0^2}=\dfrac{1-y_2^2}{5\left(1-\frac 14y_0^2\right)},\]因此\[4\left(y_0+7\right)\left(y_0-3\right) y_2^2+\left(80-20 y_0^2\right) y_2+\left(7 y_0+4\right)\left(3 y_0-4\right)=0,\]解得 $y_2=\frac{7 y_0+4}{2\left(y_0+7\right)}$（不满足 $B,P$ 在 $y$ 轴两侧，舍去）或 $y_2=\frac{3 y_0-4}{2\left(y_0-3\right)} $，进而\[(x_2,y_2)=\left(\dfrac{x_0(2y_2+1)}{2y_0-1},y_2\right)=\left(\dfrac{x_0}{y_0-3},\dfrac{3y_0-4}{2(y_0-3)}\right),\]于是 $AB$ 的纵截距为\[ \dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}=\dfrac{\frac{3x_0}{2y_0-5}\cdot \frac{3y_0-4}{2(y_0-3)}-\frac{x_0}{y_0-3}\cdot \frac{5y_0-8}{2y_0-5}}{\frac{3x_0}{2y_0-5}-\frac{x_0}{y_0-3}}=-\dfrac 12,\]因此直线 $AB$ 恒过定点 $\left(0,-\dfrac 12\right)$．