已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，$F_1,F_2$ 是其左、右焦点，$A,B$ 是其左、右顶点，点 $B$ 是椭圆上的动点且直线 $BN$ 与 $BM$ 的斜率之比为 $3$，求证：$MF_1$ 与 $MF_2$ 平行．
解析 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则\[\dfrac{y_2}{x_2-2}=3\cdot \dfrac{y_1}{x_1-2}\implies \dfrac{y_2(x_1-2)}{y_1(x_2-2)}=3\implies 3x_2y_1-x_1y_2=6y_1-2y_2,\]又\[-\dfrac 34\cdot \dfrac{x_2+2}{y_2}=3\cdot \left(-\dfrac 34\cdot \dfrac{x_1+2}{y_1}\right)\implies \dfrac{y_1(x_2+2)}{y_2(x_1+2)}=3\implies 3x_1y_2-x_2y_1=2y_1-6y_2,\]两式相减可得\[4(x_2y_1-x_1y_2)=4(y_1-y_2),\]而\[\dfrac{y_1}{x_1+1}\cdot \dfrac{x_2-1}{y_2}=\dfrac{y_1x_2-y_1}{x_1y_2+y_2}=1,\]命题得证．