每日一题[3804]孪生椭圆

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，$M\left(1,\dfrac 3 2\right)$ 为 $C$ 上一点，且在 $\triangle F_1 MF_2$ 中，$\tan\angle MF_1 F_2=\dfrac 3 4$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、过点 $P(1,3)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），线段 $AB$ 上存在点 $Q$，使得 $\dfrac{|PA|}{|PB|}=\dfrac{|QA|}{|QB|}$，求 $\left|QF_1\right|+\left|QF_2\right|$ 的最小值．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} M\in C,\\ \tan\angle MF_1F_2=\dfrac 34,\end{cases}\implies \begin{cases} \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{9}{4b^2}=1,\\ \dfrac{\frac 32}{c+1}=\dfrac 34,\\ a^2=b^2+c^2,\end{cases}\implies \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=3,\\ c^2=1,\end{cases}$$ 因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．

2、根据题意，有 $[P,Q;A,B]$，于是 $Q$ 在 $P$ 关于椭圆 $C$ 的极线 $l:\dfrac{x}4+y=1$ 上，作以 $F_1,F_2$ 为焦点且与直线 $l$ 相切的椭圆 $E:\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{n^2}=1$，其中 $m>n>0$，则有

$$\begin{cases} m^2-n^2=1,\\ m^2\cdot \left(\dfrac 14\right)^2+n^2\cdot 1^2-(-1)^2=0,\end{cases}\implies \begin{cases} m^2=\frac{32}{17},\\ n^2=\frac{15}{17},\end{cases}$$ 因此 $|QF_1|+|QF_2|$ 的最小值为 $2m=\dfrac{8\sqrt{34}}{17}$．