每日一题[3794]补形

已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$PA=PB=PC$，$\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，$E,F$ 分别是 $PA,AB$ 的中点，$\angle CEF=90^\circ$，则球 $O$ 的体积为（       ）

A．$8\sqrt 6\pi$

B．$4\sqrt 6\pi$

C．$2\sqrt 6\pi$

D．$\sqrt 6\pi$

答案    D．

解析    如图，设 $PA=a$．

在 $\triangle PAC$ 中，应用平行四边形的性质可得

$$4CE^2+PA^2=2AC^2+2PC^2\implies 4CE^2=a^2+8,$$ 在 $\triangle CEF$ 中应用勾股定理，可得 $$CE^2+EF^2=CF^2\implies 4CE^2=12-a^2,$$ 因此 $a=\sqrt 2$，进而 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=90^\circ$，所以四面体 $PABC$ 的外接平行六面体为棱长为 $\sqrt 2$ 的正方体，其外接球直径 $d$ 为该正方体的体对角线长，为 $\sqrt 6$，因此球 $O$ 的体积为 $\dfrac 16\pi d^3=\sqrt 6\pi$．