如图,已知点 E 是 ABCD 的边 AB 的中点,Fn(n∈N∗)为边 BC 上的一列点,连接 AFn 交 BD 于 Gn,点 Gn(n∈N∗)满足 →GnD=an+1⋅→GnA−2(2an+3)⋅→GnE,其中数列 {an} 是首项为 1 的正项数列,Sn 是数列 {an} 的前 n 项和,则下列结论正确的有[[nn]]
A.a3=13
B.数列 {an+3} 是等比数列
C.an=4n−3
D.Sn=2n+2−3n−4
答案 ABD.
解析 将题中等式改写为以 B 为起点的,有→BD−→BGn=an+1(→BA−→BGn)−2(2an+3)(→BE−→BGn),
整理可得(an+1+4an+5)→BGn+→BD=(an+1−2an−3)→BA,
由于 →BGn 与 →BD 共线,于是an+1−2an−3=0⟹an+1+3=2(an+3),
结合 a1=1,可得 an=2n+1−3(n∈N∗),进而 Sn=2n+2−3n−4(n∈N∗). 综上所述,正确的选项有 A B D.