每日一题[3790]换底公式

如图,已知点 EABCD 的边 AB 的中点,FnnN)为边 BC 上的一列点,连接 AFnBDGn,点 GnnN)满足 GnD=an+1GnA2(2an+3)GnE,其中数列 {an} 是首项为 1 的正项数列,Sn 是数列 {an} 的前 n 项和,则下列结论正确的有[[nn]]

A.a3=13

B.数列 {an+3} 是等比数列

C.an=4n3

D.Sn=2n+23n4

答案    ABD.

解析    将题中等式改写为以 B 为起点的,有BDBGn=an+1(BABGn)2(2an+3)(BEBGn),

整理可得(an+1+4an+5)BGn+BD=(an+12an3)BA,
由于 BGnBD 共线,于是an+12an3=0an+1+3=2(an+3),
结合 a1=1,可得 an=2n+13nN),进而 Sn=2n+23n4nN). 综上所述,正确的选项有 A B D

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