每日一题[3781]几何化简

2025年5月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14

已知 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $C:\dfrac{x^2}2-\dfrac{y^2}2=1$ 的左、右焦点．过点 $T(-3,0)$ 作直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $M,N$ 两点，直线 $F_1 N$ 与 $F_2 M$ 相交于点 $P$．若 $F_1 M\parallel F_2 N$，则 $\left|PF_2\right|-\left|PF_1\right|=$ _____．

答案    $\dfrac{4\sqrt 2}3$．

解析    由于 $F_1M\parallel F_2N$，有

$$\dfrac{|PF_2|}{|PM|}=\dfrac{|PN|}{|PF_1|}=\dfrac{|MF_1|}{|NF_2|}=\dfrac{|TF_1|}{|TF_2|},$$ 记该比值为 $k$，双曲线的实轴长为 $2a$，则 $k=\dfrac 15$，$2a=2\sqrt 2$，有 $$\begin{split} |PF_2|-|PF_1|&=\dfrac{1}{1+k}\cdot |MF_2|-\dfrac{k}{1+k}\cdot |NF_1|\\ &=\dfrac{1}{1+k}\cdot \left(|MF_1|+2a\right)-\dfrac k{1+k}\cdot \left(|NF_2|+2a\right)\\ &=\dfrac{\left(|MF_1|-k|NF_2|\right)+(1-k)\cdot 2a}{1+k}\\ &=\dfrac{1-k}{1+k}\cdot 2a,\end{split}$$ 代入数值，可得所求值为 $\dfrac{4\sqrt 2}3$．