每日一题[3776]特殊结构

2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #18

已知集合 $A=\{x\mid x=m+\sqrt 3 n,m\in\mathbb Z,n\in\mathbb Z\}$，集合 $B$ 满足 $B=\left\{x\mid x\in A~\text{且}~\dfrac 1 x\in A\right\}$．

1、判断 $2+\sqrt 3,3-\sqrt 3,0,7+4\sqrt 3$ 中的哪些元素属于 $B$；

2、证明：若 $x\in B$，$y\in B$，则 $x y\in B$；

3、证明：若 $x=m+\sqrt 3 n\in B$，则 $m^2-3 n^2=1$．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&2+\sqrt 3&3-\sqrt 3&0&7+4\sqrt 3\\ \hline \dfrac 1x&2-\sqrt 3&\frac {3+\sqrt 3}{12}&\text{不存在}&7-4\sqrt3 \\ \hline\end{array}$$ 于是 $2+\sqrt 3,7+4\sqrt 3$ 属于集合 $B$，$3-\sqrt 3,0$ 不属于集合 $B$．

2、根据题意，$xy\in B$ 等价于 $xy\in A$ 且 $\dfrac1{xy}\in A$，只需要证明若 $x,y\in A$，则 $xy\in A$． 设 $x=m_1+\sqrt 3n_1$，$y=m_2+\sqrt 3n_2$，$m_1,n_1,m_2,n_2\in\mathbb Z$，则 $$xy=(m_1+\sqrt 3n_1)\cdot (m_2+\sqrt 3n_2)=(m_1m_2+3n_1n_2)+(m_1n_2+m_2n_1)\sqrt 3,$$ 有 $(m_1m_2+3n_1n_2),(m_1n_2+m_2n_1)\in\mathbb Z$，因此 $xy\in A$，命题得证．

3、根据题意，有 $$\dfrac 1x\in A\iff \dfrac{1}{m+\sqrt 3n}\in A\iff \dfrac{m-\sqrt 3n}{m^2-3n^2}\in A\iff \dfrac {m}{m^2-3n^2},\dfrac{n}{m^2-3n^2}\in\mathbb Z,$$ 记 $m^2-3n^2=t$，$m=pt$，$n=qt$，其中 $p,q\in\mathbb Z$，则 $$t=m^2-3n^2=(pt)^2-3(qt)^2=(p^2-3q^2)t^2\implies (p^2-3q^2)t=1,$$ 于是 $(p^2-3q^2,t)=(\pm 1,\pm 1)$，由于 $m^2\equiv 0,1\pmod 3$，于是 $t\equiv 0,1\pmod 3$，从而 $t\ne -1$，而当 $t=1$ 时符合题意，因此命题得证．