每日一题[3756]三角与几何

2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17

如图,AODBOC 存在对顶角 AOD=BOC=π4AC=2BD=22,且 BC=AD

1、证明:OBD 中点;

2、若 5sin2A+cosB=5,求 OC 的长.

解析

1、建立平面直角坐标系 ODy,设 A(2a,2a)C(2c,2c)D(2(t+1),0)B(2(t1),0),则{AC=2,BC=AD,{a+c=1,(t+1a)2+a2=(t1+c)2+c2,

a=1c 代入第二个方程解得 t=0,命题得证.

2、在 OA 上取 E,使 OE=OC,则 OBCODE 全等,进而 DE=DA,进而A=DEA=πC=B+π4,

进而5sin2A+cosB=55sin(π2+2B)+cosB=5cosB=25,
于是OC=sinBsinC|OB|=1522(15+25)2=23.

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