2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17
如图,△AOD 与 △BOC 存在对顶角 ∠AOD=∠BOC=π4,AC=2,BD=2√2,且 BC=AD.
1、证明:O 为 BD 中点;
2、若 √5sin2A+cosB=√5,求 OC 的长.
解析
1、建立平面直角坐标系 O−Dy,设 A(√2a,√2a),C(−√2c,−√2c),D(√2(t+1),0),B(√2(t−1),0),则{AC=2,BC=AD,⟹{a+c=1,(t+1−a)2+a2=(t−1+c)2+c2,
将 a=1−c 代入第二个方程解得 t=0,命题得证.
2、在 OA 上取 E,使 OE=OC,则 △OBC 与 △ODE 全等,进而 DE=DA,进而A=∠DEA=π−C=B+π4,
进而√5sin2A+cosB=√5⟹√5sin(π2+2B)+cosB=√5⟹cosB=2√5,
于是OC=sinBsinC⋅|OB|=1√5√22(1√5+2√5)⋅√2=23.