每日一题[3752]螺旋上升

2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #19

已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，$a_1,a_2$ 为正整数，$a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．

1、若 $a_1=1$，$a_3=2$，求 $a_4$；

2、证明：存在 $k\in \mathbb N$，使得 $a_k=0$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 是周期为 $3$ 的数列的必要不充分条件：

3、若 $a_1\neq a_2$，是否存在数列 $\left\{a_n\right\}$，使得 $a_n<2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_1,a_2$ 的值：若不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有 $$a_{n+1}-a_{n+2}=\pm a_n\implies a_{n+2}=a_{n+1}\mp a_n,$$ 从而 $a_2=1,3$，进而 $a_4=1,3,5$．

2、一方面，当 $\{a_n\}$ 时周期为 $3$ 的数列时，其前 $3$ 项为 $x,y,y+x$ 或 $x,y,y-x$．

若前 $3$ 项为 $x,y,y+x$，则 $$a_n:x,y,y+x,x,y,\cdots,$$ 于是 $$y+x=|x-y|\implies(y+x)^2=(x-y)^2\implies xy=0.$$ 若前 $3$ 项为 $x,y,y-x$，则 $$a_n:x,y,y-x,x,y,\cdots,$$ 注意到 $(y-x)+x=y$，于是去掉该数列的前 $2$ 项即转化为之前研究的情形，于是此时 $(y-x)x=0$． 所以，数列 $\{a_n\}$ 以 $3$ 为周期，则必然含 $0$． 另一方面，取数列 $1,1,0,1,2,3,5,\cdots$（从第 $4$ 项起为斐波那契数列），则数列 $\{a_n\}$ 含 $0$，但不以 $3$ 为周期．

综上所述，命题得证．

3、引理    数列不含 $0$．

引理的证明    否则若 $a_k=0$，则 $a_{k-1}=a_{k-2}$，设值为 $m$，则从第 $k$ 项起往前倒推，数列为 $0,m,m,0,m,m,\cdots$，直至 $a_1=a_2=m$，矛盾． 根据引理，数列中所有项均为正整数．定义数列 $\{x_n\}$ 为 $$a_{n+2}=a_{n+1}+x_n\cdot a_n,$$ 则 $x_n\in\{-1,1\}$．

情形一     $\{x_n\}$ 中 $-1$ 为有限个．设最后一个 $-1$ 为 $x_k$，则当 $n\geqslant k+1$ 时，有 $x_n=1$，于是 $a_{n+2}-a_n\geqslant 1$，进而 $\{a_n\}$ 无界，题中条件不成立．

情形二     $\{x_n\}$ 中 $-1$ 为无限个．考虑两个连续的 $-1$ 之间（其中穿插至少 $1$ 个 $+1$，设 $x_k,x_{k+m+1}=-1$，$m\in\mathbb N^{\ast}$）数列 $\{a_n\}$ 的变化 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline i&\cdots&k-2&k-1&k&k+1&\cdots&k+m&k+m+1&k+m+2\\ \hline x_i&\cdots&&&-1&1&\cdots&1&-1&1\\ \hline a_i&\cdots&a&a+b&b&a+2b&\cdots&F_m\cdot a+F_{m+2}\cdot b&F_{m-1}\cdot a+F_{m+1}\cdot b& F_{m+1}\cdot a+F_{m+3}\cdot b\\ \hline\end{array}$$ 其中 $m\geqslant 1$ 且 $F_n:1,1,2,3,5,\cdots$ 为斐波那契数列（记 $F_0=0$），于是 $$a_{k+m+2}-a_{k+1}=(F_{m+1}-1)\cdot a+(F_{m+3}-2)\cdot b\geqslant b,$$ 因此 $\{a_n\}$ 为无界数列．

综上所述，若 $a_1\ne a_2$，则数列 $\{a_n\}$ 为无界数列，不可能满足 $a_n<2025$．