2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #21
给定数列 A:a1,a2,a3,a4 和序列 Ω:T1,T2,⋯,Ts，其中 Tt=(dt,1,dt,2,dt,3,dt,4)（t=1,2,⋯,s）满足：
① dt,i∈{−1,3}（i=1,2,3,4）；
② dt,1+dt,2+dt,3+dt,4=0．
对数列 A 进行如下 s 次变换：将 A 的第 1 项、第 2 项、第 3 项、第 4 项分别加 d1,1,d1,2,d1,3,d1,4 后得到的数列记作 T1(A)； 将 T1(A) 的第 1 项、第 2 项、第 3 项、第 4 项分别加 d2,1,d2,2,d2,3,d2,4 后得到的数列记作 T2T1(A)； ⋯⋯； 以此类推，得到数列 Ts⋯T2T1(A)，简记为 Ω(A)．
1、已知数列 A:7,8,4,4，写出一个序列 Ω:T1,T2，使得 Ω(A) 为 5,6,6,6；
2、对数列 A:4,6,7,8，是否存在序列 Ω:T1,T2,⋯,Ts，使得 Ω(A) 中恰有三项相等？若存在，写出一个序列 Ω，若不存在，说明理由；
3、对数列 A:3,7,14,m，若存在序列 Ω:T1,T2,⋯,Ts（s⩽10），使得 Ω(A) 中恰有三项相等，求 m 的所有取值．
解析
1、设 Ω(A)=Ts⋯T2T1(A)，则容易证明 Ω(A) 与 T1,T2,⋯,Ts 的顺序无关，记为 ti 是第 i 个数为 3，其余各数为 −1 的排列，其中 i=1,2,3,4，则Tk∈{t1,t2,t3,t4},k=1,2,⋯,s设 Tk（k=1,2,⋯,s）中取 t1,t2,t3,t4 的分别有 x1,x2,x3,x4 个，则x1+x2+x3+x4=s,进而对数列 A:a1,a2,a3,a4 来说，a1 增长了3x1−x2−x3−x4=4x1−(x1+x2+x3+x4)=4x1−s,从而Ω(A):a1−s+4x1,a2−s+4x2,a3−s+4x3,a4−s+4x4. 对数列 A:7,8,4,4，若 s=2，Ω(A):5,6,6,6，则{7−s+4x1=5,8−2+4x2=6,4−2+4x3=6,4−2+4x4=6,x1+x2+x3+x4=2,⟺{x1=0,x2=0,x3=1,x4=1,因此 Ω:t3,t4 或 Ω:t4,t3．
2、根据题意，有Ω(A):4−s+4x1,6−s+4x2,7−s+4x3,8−s+4x4,模 4 下为Ω(A)(mod4):−s,2−s,3−s,−s,不可能恰有三项相等．
3、根据题意，有Ω(A):3−s+4x1,7−s+4x2,14−s+4x3,m−s+4x4,模 4 下为Ω(A)(mod4):3−s,3−s,2−s,m−s,因此 m≡3(mod4)，设 m=4n+3（n∈Z），则3−s+4x1=7−s+4x2=(4n+3)−s+4x4⟺x1=1+x2=n+x4,而 x1,x2,x3,x4∈N 且 x1+x2+x3+x4⩽10，进而(n+x4)+(n−1+x4)+x3+x4⩽10⟹2n−1+3x4⩽10⟹3x4⩽11−2n,而 n+x4=1+x2⩾1，于是 x4⩾max，从而\begin{cases} 3(1-n)\leqslant 11-2n,\\ 0\leqslant 11-2n,\end{cases}\implies -8\leqslant n\leqslant 5,且当 -8\leqslant n\leqslant 5 时，取(x_1,x_2,x_4)=\begin{cases} (1,0,-n),&-8\leqslant n\leqslant 0,\\ (n,n-1,0),&1\leqslant n\leqslant 5,\end{cases}而 x_3 可取 0 到 10-x_1-x_2-x_3 中的任意自然数，因此 m 的所有可能取值为 4n+3（-8\leqslant n\leqslant 5 且 n\in\mathbb Z）．