每日一题[3736]进制紧排

2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #21

若有穷数列 $A: a_1,a_2,a_3,\cdots,a_m$（$m\in\mathbb N^{\ast}$，$m\geqslant 3$）满足如下两个性质，则称数列 $A$ 具有性质 $P$：

① $a_1\in\mathbb Z$；

② $\left|a_{k+1}-a_k\right|=2^k$（$k=1,2,\cdots,m-1$）．

1、当 $a_1=2$，$m=3$ 时，写出两个具有性质 $P$ 的数列 $A$；

2、给定的正整数 $m$（$m\geqslant 3$），若数列 $A: a_1,a_2,a_3,\cdots,a_m$ 具有性质 $P$，且 $a_1=1$．将 $a_m$ 的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列，记为 $B_m$，数列 $B_m$ 的所有项的和为 $S_m$．

① 证明：数列 $B_m$ 为等差数列；

② 从 $S_3,S_4,\cdots,S_{2025}$ 中任意取 $t$ 个数构成集合 $M$，使得对任意的 $S_i\in M$，存在 $S_j\in M$，满足 $S_i S_j$ 能被 $2^{10}$ 整除，求 $t$ 的最小值．

解析

1、$2,4,8$，$2,4,0$，$2,0,4$，$2,0,-4$．

2、根据题意，设 $a_{k+1}-a_k=\lambda_k\cdot 2^k$，其中 $\lambda_k\in \{-1,1\}$，$k=1,2,\cdots,m-1$，则 $$a_m=a_1+\sum_{k=1}^{m-1}\left(\lambda_k\cdot 2^{k}\right),$$ 设 $\mu_k=\dfrac{\lambda_k+1}2$（$k=1,2,\cdots,m-1$），则 $$x_m=\overline{\mu_{m-1}\cdots\mu_2\mu_1}=\sum_{k=1}^{m-1}\dfrac{\lambda_k+1}2\cdot 2^{k-1},$$ 则 $$a_m=a_1+4x_m-\sum_{k=1}^{m-1}2^k=a_1+2-2^m+4x_m,$$ 而 $x_m$ 的取值集合是二进制下所有不超过 $m-1$ 位的数，也即从 $0$ 到 $2^{m-1}-1$ 的所有正整数，因此数列 $B_m$ 是公差为 $4$ 的等差数列，命题 ① 得证． 由于 $$S_m=\sum \left(a_1+2-2^m+4x_m\right)=(2^m-1)\cdot 2^{m-1}+4\cdot \dfrac{\left(2^{m-1}-1\right)\cdot 2^{m-1}}2=2^{m-1},$$ 于是 $$M\subseteq \left\{2^k\mid k=2,3,\cdots,2024\right\},$$ 若 $$M=\left\{2^k\mid k=2,3,4,5,6,7\right\},\quad S_i=2^2,$$ 则 $S_j\leqslant 2^7$，不符合题意，因此 $t\geqslant 7$．当 $t=7$ 时，取 $S_j=2^8$，则由于 $S_j\geqslant 2^2$，因此 $2^{10}\mid S_iS_j$，符合题意．

综上所述，$t$ 的最小值为 $7$．