每日一题[3733]基本数列

2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #15

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 与等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 是两个无穷数列，且都不是常数列．下列结论中所有正确结论的序号是_____．

① 数列 $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$ 不是等比数列；

② 若 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 都是递增数列，则数列 $\left\{a_n\cdot b_n\right\}$ 是递增数列；

③ 对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$b_n,b_{n+1},b_{n+2}$ 不是等差数列；

④ 存在数列 $\left\{a_n\right\}$，对任意的 $p,q,r\in\mathbb N^{\ast}$，且 $p<q<r$，使得 $a_p,a_q,a_r$ 不能构成等比数列．

答案    ①③④．

解析    设 $a_n=a_0+nd$，$b_n=b_0\cdot q^n$，其中 $a_0,b_0,d,q\in\mathbb R$，$d,b_0,q\ne 0$ 且 $q\ne 1$．

对于结论 ①，有

$$\dfrac{a_{n+1}\cdot b_{n+1}}{a_n\cdot b_n}=q\cdot \left(1+\dfrac{d}{a_0+nd}\right),$$ 不是常数，结论正确；

对于结论 ②，取 $a_n=n$，$b_n=-\left(\dfrac 12\right)^n$，则 $a_1b_1=a_2b_2=-\dfrac 12$，结论错误；

对于结论 ③，有

$$b_n+b_{n+2}-2b_{n+1}=b_n(1-q)^2\ne 0,$$ 结论正确；

对于结论 ④，取 $a_n=n+\sqrt 2$，则

$$a_q^2-a_pa_r=(q+\sqrt 2)^2-(p+\sqrt 2)(r+\sqrt 2)=(q^2-pr)+(2q-p-r)\sqrt 2,$$ 若 $a_p,a_q,a_r$ 能构成等比数列，则 $$q^2-pr=2q-p-r=0\implies q=\sqrt{pr}=\dfrac{p+r}2,$$ 根据均值不等式及其取等条件，这不可能，结论正确；

综上所述，正确的结论的序号是 ①③④．