每日一题[3730]交换调整

2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #21

已知有穷正整数数列 $A_n: a_1,a_2,\cdots,a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 4$）满足：$a_i\in\{1,2,\cdots,n\}$，且当 $i\ne j$（$i,j\in\mathbb N^{\ast}$，$1\leqslant i,j\leqslant n$）时，总有 $a_i\neq a_j$．定义数列 $A_n^{\ast}: a_1^{\ast},a_2^{\ast},\cdots,a_n^{\ast}$，其中 $a_1^{\ast}=a_1$，

$$a_k^{\ast}=\begin{cases}a_k-a_{k-1}^{\ast},&a_{k-1}^{\ast}<a_k,\\ a_k+a_{k-1}^{\ast},&a_{k-1}^{\ast}\geqslant a_k,\end{cases}$$ 其中 $k=2,3,\cdots,n$．当 $a_n^{\ast}=m$ 时，称数列 $A_n$ 具有性质 $P(m)$．

1、判断下列数列是否具有性质 $P(1)$； ① $4,3,2,1$； ② $1,2,3,5,4$．

2、已知数列 $A_8$ 具有性质 $P(m)$，求 $m$ 的最小值； 是否存在数列 $A_n$ 具有性质 $P\left(\dfrac{n(n+1)}2\right)$，且 $a_1^{\ast}+a_2^{\ast}+\cdots+a_n^{\ast}=2025$？若存在，请找到使 $n$ 最小的一个数列 $A_n$；若不存在，请说明理由．

解析

1、① $4,3,2,1\to 4,7,9,10$，不具有性质 $P(1)$；

② $1,2,3,5,4\to 1,1,2,3,1$，具有性质 $P(1)$．

2、根据第 $(2)$ 小题的结果，有

$$a_n^{\ast}=S_n-a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(\lambda_k\cdot a_k^{\ast})\leqslant S_n,$$ 等号仅当 $\lambda_k=1$（$k=1,2,\cdots,n-1$）时取得，因此 $$a_k^{\ast}=a_k+a_{k-1}^{\ast},\quad k=2,3,\cdots,n,$$ 设 $S_k^{\ast}=\displaystyle\sum_{i=1}^ka_k^{\ast}$，则 $$S_k^{\ast}=S_1+S_2+\cdots+S_k,$$ 因此根据排序不等式，有 $$2025=S_n^{\ast}=na_1+(n-1)a_2+\cdots+2a_{n-1}+a_n\leqslant \sum_{k=1}^nk^2=\dfrac 16n(n+1)(2n+1),$$ 解得 $n\geqslant 18$． 接下来给出 $n=18$ 的例子 $^{[1]}$，此时 $\dfrac{n(n+1)}2=171$，$S_{18}^{\ast}=2025$，有 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline k&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline a_k&18&17&16&15&14&13&12&11&1\\ \hline a_k^{\ast}&18&35&51&66&80&93&105&116&117\\ \hline \\ \hline k&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\ \hline a_k&8&9&6&7&4&5&3&2&10\\ \hline a_k^{\ast}&125&134&140&147&151&156&159&161&171\\ \hline \end{array}$$ 因此存在符合题意的数列，$n$ 的最小值为 $18$．

备注    $[1]$ 考虑到 $1^2+2^2+\cdots+18^2=2109$，而构造目标是 $2025$，需要调整 $84$，而交换第 $p,q$ 列能够完成 $(p-q)^2$ 的任务量，因此构造按 $84=9^2+1^2+1^2+1^2$ 进行：首先 $10\cdot 10+1\cdot 1\to 10 \cdot 1+1\cdot 10$ 完成 $81$，然后交换 $3$ 组相邻的对（$9,8;7,6;5,4$），每对完成 $1$ 即可．