每日一题[3727]分界讨论

2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #10

已知 $f(x)=\sin\pi x$，$g(x)=-x^2+2 a x-a^2+1$．用 $\displaystyle\max\{a,b\}$ 表示 $a,b$ 中的最大值，设 $M(x)=\displaystyle\max\{f(x),g(x)\}$．若函数 $M(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上有且仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（       ）

A．$(1,3)$

B．$\left(\dfrac 3 2,\dfrac 5 2\right)$

C．$(2,3)$

D．$\left(\dfrac 5 2,3\right)$

答案    C．

解析    根据题意，$M(x)=0$ 等价于

$$\begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\leqslant 0,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} f(x)<0,\\ g(x)=0,\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} x=1,\\ g(1)\leqslant 0,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} 1<x<2,\\ g(x)=0,\end{cases}$$ 而 $g(1)=2a-a^2$，$g(2)=-3+4a-a^2$，讨论分界点为 $a=0,1,2,3$． $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline a&&0&&1&&2&&3&\\ \hline \text{零点个数}&1&1&1&0&0&1&2&1&1\\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(2,3)$．