每日一题[3725]分段放缩

2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (a x)}{x-1}$．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的定义域；

2、已知 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

3、当 $a=\dfrac 2{\mathrm e}$ 时，证明：若 $x_1\in(0,1)$，$x_2\in(1,+\infty)$，则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>\dfrac 3 2$． （参考数据：$\mathrm e^2\approx 7.39$，$\mathrm e^3\approx 20.09$，$\mathrm e^4\approx 54.60$）

解析

1、当 $a=1$ 时，$f(x)=\dfrac{\ln x}{x-1}$，定义域为 $(0,+\infty)\setminus \{1\}$．

2、根据题意，$a<0$ 且函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{1-\dfrac 1x-\ln(ax)}{(x-1)^2},$$ 注意到分子部分关于 $x$ 在 $(-\infty,-1]$ 上单调递增，因此题意即 $$\left(1-\dfrac 1x-\ln(ax)\right)\Bigg|_{x=-1}\leqslant 0\iff 2-\ln(-a)\leqslant 0\iff a\leqslant -\mathrm e^2,$$ 因此 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\mathrm e^2\right]$．

3、当 $a=\dfrac 2{\mathrm e}$ 时，有

$$f(x)=\dfrac{\ln (2x)-1}{x-1}.$$

一方面，当 $x\in (0,1)$ 时，有

$$\ln(2x)-1\leqslant (2x-1)-1=2(x-1)\implies \dfrac{\ln(2x)-1}{x-1}\geqslant 2,$$ 等号仅当 $x=\dfrac 12$ 时取得；

另一方面，当 $x\in (1,+\infty)$ 时，有

$$\ln(2x)-1=\ln \dfrac x2+\ln 4-1\leqslant\left( \dfrac x2-1\right)+\ln 4-1=\dfrac 12(x-1)+2\ln 2-\dfrac 32,$$ 而 $$2\ln 2-\dfrac 32=\dfrac {\ln 16-3}{2}<0,$$ 因此 $$\ln(2x)-1<\dfrac 12(x-1)\implies \dfrac{\ln (2x)-1}{x-1}<\dfrac 12.$$

综合以上两方面，命题得证．