每日一题[3724]伸缩变换

2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左顶点为 $A(-2,0)$，离心率 $e=\dfrac{\sqrt 3}2$．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程；

2、设点 $P$ 为 $C$ 上异于顶点的一点，点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $Q$，过 $A$ 作 $OP$ 的平行线 $l$，$l$ 与 $C$ 的另一个交点为 $M$．当 $M$ 与 $Q$ 不重合时，求证：$MQ\parallel AP$．

解析

1、由椭圆 $C$ 的左顶点为 $A(-2,0)$，可得 $a=2$，而离心率 $\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2$，从而 $a^2=4$，$b^2=1$，所求标准方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．

2、在伸缩变换 $x'=x$，$y'=2y$ 下，椭圆 $C$ 变为圆，设 $P,Q,M$ 的对应点分别为 $P',Q',M'$，设 $P'$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $R'$，则由 $AM'\parallel P'R'$ 可得弧 $M'P'$ 与弧 $AR'$ 相等，而弧 $AR'$ 与弧 $AQ'$ 相等，从而弧 $M'P'$ 与弧 $Q'A$ 相等，进而

$$\angle Q'MA=\angle M'AP'\implies Q'M'\parallel AP'\implies QM\parallel AP,$$ 命题得证．