每日一题[3720]交并补调整

用 $\operatorname{card}(X)$ 表示有限集 $X$ 中元素的个数．若 $\operatorname{card}(A\cup B)=30$，$\operatorname{card}(A\cup C)=40$，$\operatorname{card}(B\cup C)=50$，则 $\operatorname{card}(A\cup B\cup C)$ 的取值范围是_____．

答案    $\{n\in\mathbb N\mid 50\leqslant n\leqslant 60\}$．

解析    设 $A-B-C,B-C-A,C-A-B,AB-C,BC-A,CA-B,ABC$ 中的元素个数分别为 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$，则 $$\begin{cases} \operatorname{card}(A\cup B)=x_1+x_2+x_4+x_5+x_6+x_7=30,\\ \operatorname{card}(A\cup C)=x_1+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=40,\\ \operatorname{card}(B\cup C)=x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=50,\\ \operatorname{card}(A\cup B\cup C)=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7,\end{cases}$$ 于是 $$\operatorname{card}(A\cup B\cup C)\geqslant \operatorname{card}(B\cup C)=50,$$ 等号当 $$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)=(0,10,20,0,0,0,20)$$ 时取得；且 $$\operatorname{card}(A\cup B\cup C)\leqslant \dfrac 12\big(\operatorname{card}(A\cup B)+\operatorname{card}(B\cup C)+\operatorname{card}(C\cup A)\big)=60,$$ 等号当 $$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)=(10,20,30,0,0,0,0)$$ 时取得； 综上所述，所求取值范围是 $\{n\in\mathbb N\mid 50\leqslant n\leqslant 60\}$．