每日一题[3716]阿波罗尼斯圆

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #13

已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=45$，$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1012}{1013}$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是_____．

答案    $512578$．

解析    根据阿波罗尼斯圆的定义，满足 $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1012}{1013}$ 的 $C$ 的轨迹是圆，设圆心为 $O$，半径为 $r$，则

$$\dfrac{OA}{r}=\dfrac{r}{OB}=\dfrac{1012}{1013},\quad OA-OB=45,$$ 于是 $$\dfrac{1013}{1012}r-\dfrac{1012}{1013}r=45\implies r=\dfrac{45\cdot 1012\cdot 1013}{2025},$$ 且 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $$\dfrac 12\cdot AB\cdot r=\dfrac 12\cdot 45\cdot \dfrac{45\cdot 1012\cdot 1013}{2025}=512578.$$