每日一题[3691]扭一扭

2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #16

如左图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$Q_1, Q_2$ 分别为正方形 $A B C D,A_1 B_1 C_1 D_1$ 的中心，现保持平面 $A B C D$ 不动，在上底面 $A_1 C_1$ 内将正方形 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 绕点 $Q_2$ 逆时针方向旋转 $45^{\circ}$，得到如右图所示的一个十面体 $A B C D-E F G H$．

1、证明：$E F\parallel ~\text{平面}~A B C D$；

2、设 $Q_1 Q_2$ 的中点为 $O$，求点 $O$ 到平面 $D B E$ 的距离；

3、求平面 $D B E$ 与平面 $D B G$ 所成角的余弦值．

解析

1、根据题意，有 $A_1B_1C_1D_1$ 与 $EFGH$ 是同一平面，从而 $EF\subset A_1B_1C_1D_1$，又 $A_1B_1C_1D_1\parallel ABCD$，从而 $EF\parallel ABCD$．

2、设 $AB,BC$ 的中点分别为 $M,N$，建立空间直角坐标系 $Q_1-MNQ_2$，则

$$\begin{cases} O(0,0,1),\\ D(-1,-1,0),\\ B(1,1,0),\\ E(\sqrt 2,0,2),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow{OB}=(1,1,-1),\\ \overrightarrow{DB}=(2,2,0),\\ \overrightarrow{BE}=(\sqrt 2-1,-1,2),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow{OB}=(1,1,-1),\\ \overrightarrow n_{DBE}=(2,-2,-\sqrt 2),\end{cases}$$ 于是所求距离 $$d(O,DBE)=\dfrac{\left|\overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow n_{DBE}\right|}{\left|\overrightarrow n_{DBE}\right|}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt 5}5.$$

3、根据第 $(2)$ 题的结果，有

$$\begin{cases} D(-1,-1,0),\\ B(1,1,0),\\ G(-\sqrt 2,0,2),\end{cases}\implies \begin{cases} \overrightarrow {DB}=(2,2,0),\\ \overrightarrow {BG}=(-\sqrt 2-1,-1,2),\end{cases}\implies \overrightarrow n_{DBG}=(2,-2,\sqrt 2),$$ 因此所求余弦值为 $$\cos\theta=\dfrac{\left| \overrightarrow n_{DBE}\cdot \overrightarrow n_{DBG} \right|}{\left| \overrightarrow n_{DBE} \right|\cdot \left|\overrightarrow n_{DBG} \right|}=\dfrac 6{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}=\dfrac 35.$$