每日一题[3689]一支穿云箭

2025年上海市春季高考数学试卷 #16

已知 $a \in \mathbb{R}$，关于 $x$ 的不等式 $\left(\tan\dfrac{\pi x}{6} -a\right)\left(\tan \dfrac{\pi x}{6} -a-1\right)<0$ 在 $(0,2025)$ 中的整数解有 $m$ 个．关于 $m$ 的取值，以下不可能的是（       ）

A．$0$

B．$338$

C．$674$

D．$1012$

答案    D．

解析    题中不等式即

$$a<\tan\dfrac{\pi x}6<a+1,$$ 设 $f(x)=\tan\dfrac{\pi x}6$，则其最小正周期 $T=6$，而 $2025=6\cdot 337+3$，因此 $(0,2025)$ 包含 $337$ 个完整周期：$(6k-3,6k+3)$（$k=1,2,\cdots,337$），以及 $1$ 个半周期 $(0,3)$，且 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\ \hline f(x)&\infty&-\sqrt 3=-1.732\cdots&-\dfrac{\sqrt 3}3=-0.577\cdots&0&\dfrac{\sqrt 3}3=0.577\cdots&\sqrt 3=1.732\cdots&\infty \\ \hline\end{array}$$ 注意 $f(x)$ 在 $-2,-1,0,1,2$ 处相邻的函数值差值，可得集合 $K=\big\{x\mid f(x)\in (a,a+1),x\in\{-2,-1,0,1,2\}\big\}$ 以及对应的 $m$ 如下： $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline K&\varnothing&\{-2\}&\{-1\}&\{-1,0\}&\{0\}&\{0,1\}&\{1\}&\{2\}\\ \hline m&0&337&337&674&337&338&675&338\\ \hline\end{array}$$ 因此只有选项 $\boxed{D}$ 符合题意．