每日一题[3688]函数与方程

2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #11

设直线 $y=t$ 与函数 $f(x)=x(x-3)^2$ 图象的三个交点分别为 $A(a, t), B(b, t), C(c, t)$，且 $a<b<c$，则（       ）

A．$f(x)$ 图象的对称中心为 $(2,2)$

B．$a b c$ 的取值范围为 $(0,12)$

C．$a c$ 的取值范围为 $(0,4)$

D．$c-a$ 的取值范围为 $\left(3,2 \sqrt{3}\right]$

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，根据三次函数图象的对称性，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，方程 $f(x)=t$ 即

$$x^3-6x^2+9x-t=0,$$ 于是根据三次方程的韦达定理，有 $abc=t$，而 $f(x)$ 的极大值点为 $x=1$，极小值点为 $x=3$，对应的极大值为 $4$，极小值为 $0$，因此 $t$ 的取值范围是 $(0,4)$，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，由于 $ac=\dfrac tb=\dfrac{b(b-3)^2}b=(b-3)^2$，随 $b$ 在区间 $b\in (1,3)$ 递减，因此 $ac$ 的取值范围是 $(0,4)$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，由于 $a+c=6-b$，$ac=(b-3)^2$，因此

$$c-a=\sqrt{(6-b)^2-4(b-3)^2}=\sqrt{3b(4-b)},$$ 而 $b$ 的取值范围是 $(1,3)$，因此 $c-a$ 的取值范围是 $\left(3,2\sqrt 3\right]$，选项正确；

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．