每日一题[3686]错位与排序

已知实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$，证明：

$$\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}}{a_i}\geqslant\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}+a_i+1}{a_i+a_{i+1}+1},$$ 其中 $a_0=a_n$，$a_{n+1}=a_1$．

解析    由于 $a_i$ 与 $\dfrac{1}{a_i(2a_i+1)}$ 反序，而 $a_{i-1}$ 与 $\dfrac{1}{a_i(2a_i+1)}$ 乱序，因此根据排序不等式，有

$$\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}}{a_i(2a_i+1)}\geqslant \sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{a_i(2a_i+1)},$$ 即 $$\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{a_{i-1}}{a_i}-\dfrac{2a_{i-1}}{2a_i+1}\right)\geqslant \sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2a_i+1},$$ 即 $$\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}}{a_i}\geqslant \sum_{i=1}^n\dfrac{2a_{i-1}+1}{2a_i+1}.$$ 设 $b_i=\dfrac{2a_{i-1}+1}{2a_i+1}$，则 $$\dfrac{a_{i-1}+a_i+1}{a_i+a_{i+1}+1}=\dfrac{(2a_{i-1}+1)+(2a_i+1)}{(2a_i+1)+(2a_{i+1}+1)}=\dfrac{b_i+1}{1+\frac{1}{b_{i+1}}},$$ 于是根据排序不等式，有 $$\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}+a_i+1}{a_i+a_{i+1}+1}=\sum_{i=1}^n\dfrac{1+b_i}{1+\frac{1}{b_{i+1}}}\leqslant \sum_{i=1}^n\dfrac{1+b_i}{1+\frac{1}{b_i}}=\sum_{i=1}^nb_i,$$ 命题得证．