每日一题[3681]双升

2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #4

已知集合 $A=\{1,2,3\}$，映射 $f: A\rightarrow A$，且满足对任意 $x\in A$，有 $f(f(x))\geqslant x$，则这样的 $f$ 有_____个．

答案    $13$．

解析    由 $f(f(3))\geqslant 3$ 且 $f(f(x))\in A$ 可得 $f(f(3))=3$．

情形一     $f(3)=1$．此时 $f(1)=3$，$f(2)=1,2$，有 $2$ 个符合题意的 $f$；

情形二     $f(3)=2$．此时 $f(2)=3$，$f(1)=1,2,3$，有 $3$ 个符合题意的 $f$；

情形三     $f(3)=3$，此时 若 $f(2)=1$，则 $f(1)=2,3$，有 $2$ 个符合题意的 $f$； 若 $f(2)=2,3$，$f(1)=1,2,3$，有 $6$ 个符合题意的 $f$；

综上所述，满足条件的 $f$ 共有 $13$ 个．